Nos itens (a) até (
), encontre as derivadas parciais indicadas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, dado por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e, como
está definido de forma implícita (ou seja,
aparece dos dois lados da equação), vamos precisar usar derivação implícita para encontrar
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. Temos:
Para encontrar as derivadas parciais, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e
, mantendo a outra variável constante.
Passo 3
Vamos começar com
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos a multiplicação de duas funções de
:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na equação original:
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Agora, vamos proceder da mesma forma para
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Aplicando a regra do produto novamente:
Passo 7
Calculando cada derivada:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 8
Substituindo essas derivadas na equação original:
Organizando:
Passo 9
Isolando
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e