Nos itens (a) até ( e ), encontre as derivadas parciais indicadas: z=e^y / z cdot ln (x^2y) ; partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de z = e^yz cdot ln(x^2y) em relação a e , dado por:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais e, como está definido de forma implícita (ou seja, aparece dos dois lados da equação), vamos precisar usar derivação implícita para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a diferenciação. Temos:
z = e^yz cdot ln(x^2y)
Para encontrar as derivadas parciais, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e , mantendo a outra variável constante.

Passo 3

Vamos começar com partial zpartial x = partialpartial x ( e^yz cdot ln(x^2y) ) . Diferenciando ambos os lados em relação a partial zpartial x = e^yz cdot partialpartial x ln(x^2y) + ln(x^2y) cdot partialpartial x e^yz :
Aqui, usamos a regra do produto, já que temos a multiplicação de duas funções de :

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente.
Primeiro, a derivada de partialpartial x ln(x^2y) = 2xx^2 = 2x em relação a partialpartial x e^yz = e^yz cdot ( -yz^2 cdot partial zpartial x ) :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação original:
partial zpartial x = e^yz cdot 2x + ln(x^2y) cdot ( -yz^2 e^yz cdot partial zpartial x )
Agora, vamos isolar partial zpartial x + ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz cdot partial zpartial x = e^yz cdot 2x :
partial zpartial x ( 1 + ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz ) = e^yz cdot 2x
Fatorando partial zpartial x = e^yz cdot 2x1 + ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz :
Finalmente, isolando :

Passo 6

Agora, vamos proceder da mesma forma para partial zpartial y = partialpartial y ( e^yz cdot ln(x^2y) ) . Diferenciando ambos os lados em relação a partial zpartial y = e^yz cdot partialpartial y ln(x^2y) + ln(x^2y) cdot partialpartial y e^yz :
Aplicando a regra do produto novamente:

Passo 7

Calculando cada derivada:
Primeiro, a derivada de partialpartial y ln(x^2y) = -1y em relação a partialpartial y e^yz = e^yz cdot ( 1z - yz^2 cdot partial zpartial y ) :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na equação original:
partial zpartial y = e^yz cdot ( -1y ) + ln(x^2y) cdot ( 1z e^yz - yz^2 e^yz cdot partial zpartial y )
Organizando:
partial zpartial y = -e^yzy + ln(x^2y)z e^yz - ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz cdot partial zpartial y

Passo 9

Isolando partial zpartial y + ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz cdot partial zpartial y = -e^yzy + ln(x^2y)z e^yz :
partial zpartial y ( 1 + ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz ) = -e^yzy + ln(x^2y)z e^yz
Fatorando partial zpartial y = -e^yzy + ln(x^2y)z e^yz 1 + ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz :
Finalmente, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 2 e^yz / x1 + ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz
e
partial zpartial y = -e^yz / y + ln(x^2y) cdot e^yz / z 1 + ln(x^2y) cdot yz^2 e^yz

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