Resol ver usando o método da variação dos parâmetros:

Passo 1

Oi! Vamos resolver o exercício que pede para resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação dada é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea relacionada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação linear de funções trigonométricas.

Passo 3

Para encontrar a solução geral da equação homogênea, encontramos as raízes características da equação característica:
As raízes são imaginárias, então a solução geral é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos e como as soluções da equação homogênea.
O método da variação dos parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como:
Onde e são funções a serem determinadas.

Passo 5

Para encontrar e , usamos as fórmulas:
Aqui, e é o Wronskiano das soluções homogêneas.

Passo 6

Calculamos o Wronskiano:
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos no sistema para e :

Passo 8

Integrando e :
Para :
Sabemos que , então:
Ignorando a constante de integração, temos:
Para :
Ignorando a constante de integração, temos:

Passo 9

Agora, substituímos e na expressão da solução particular:
Simplificando:

Passo 10

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
;
Indique os domínios das funções dadas e derive-as:
Use a definição para calcular se .