Resol ver usando o método da variação dos parâmetros:
Passo 1
Oi! Vamos resolver o exercício que pede para resolver a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros. A equação dada é:
Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a solução da equação homogênea associada e aplicar o método da variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea relacionada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação é uma combinação linear de funções trigonométricas.
Passo 3
Para encontrar a solução geral da equação homogênea, encontramos as raízes características da equação característica:
As raízes são imaginárias, então a solução geral é:
Onde e são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular usando o método da variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos e como as soluções da equação homogênea.
O método da variação dos parâmetros nos diz que a solução particular pode ser escrita como:
Onde e são funções a serem determinadas.
Passo 5
Para encontrar e , usamos as fórmulas:
Aqui, e é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Passo 6
Calculamos o Wronskiano:
Então, .
Passo 7
Agora, substituímos no sistema para e :
Passo 8
Integrando e :
Para :
Sabemos que , então:
Ignorando a constante de integração, temos:
Para :
Ignorando a constante de integração, temos:
Passo 9
Agora, substituímos e na expressão da solução particular:
Simplificando:
Passo 10
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: