A área entre
e
no intervalo [1, 2] é
ख
ख
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área entre as curvas
e
no intervalo de
a
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas entre curvas, e para resolvê-lo, vamos precisar usar integrais definidas e entender qual das funções está por cima no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, para calcular a área entre duas curvas, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo considerado. Isso nos ajuda a saber de qual função devemos subtrair a outra dentro da integral.
Vamos avaliar as funções em alguns pontos do intervalo [1, 2]:
-
Em
: Ambas as funções são iguais aqui. -
Em
: Aqui,é maior que .
Para ter certeza de que
está acima de
em todo o intervalo, podemos verificar um ponto intermediário, por exemplo,
:
Vemos que
continua acima de
nesse ponto. Portanto,
está acima de
em todo o intervalo [1, 2].
Passo 3
Agora que sabemos qual função está acima, a área entre as curvas pode ser encontrada integrando a diferença entre elas no intervalo de 1 a 2. A fórmula geral para a área
entre duas curvas
e
onde
é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular a integral separadamente:
-
Integral de
: -
Integral de
:
Subtraindo as duas integrais:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área entre as curvas é:
Exercícios relacionados
Seja
. Logo
0
0
Seja
. Então
0
0