A área entre e no intervalo [1, 2] é



Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área entre as curvas e no intervalo de a . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas entre curvas, e para resolvê-lo, vamos precisar usar integrais definidas e entender qual das funções está por cima no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, para calcular a área entre duas curvas, precisamos identificar qual função está acima da outra no intervalo considerado. Isso nos ajuda a saber de qual função devemos subtrair a outra dentro da integral.
Vamos avaliar as funções em alguns pontos do intervalo [1, 2]:
  • Em :
    Ambas as funções são iguais aqui.
  • Em :
    Aqui, é maior que .
Para ter certeza de que está acima de em todo o intervalo, podemos verificar um ponto intermediário, por exemplo, :
Vemos que continua acima de nesse ponto. Portanto, está acima de em todo o intervalo [1, 2].

Passo 3

Agora que sabemos qual função está acima, a área entre as curvas pode ser encontrada integrando a diferença entre elas no intervalo de 1 a 2. A fórmula geral para a área entre duas curvas e onde é:
Aplicando isso ao nosso caso:

Passo 4

Vamos calcular a integral separadamente:
  1. Integral de :
  2. Integral de :
Subtraindo as duas integrais:

Passo 5

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

A área entre as curvas é:

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