lim x 0(sen x-tg xx^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado a limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar as expansões em séries de Taylor das funções seno e tangente perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das expansões de Taylor para sin x = x - x^36 + O(x^5) e tan x = x + x^33 + O(x^5) perto de zero:
Aqui, representa os termos de ordem superior que serão desprezados quando se aproxima de zero.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expansões na expressão original:
sin x - tan x = (x - x^36) - (x + x^33) = -x^36 - x^33 = -x^32

Passo 4

Substituindo de volta no limite, temos:
lim x 0(sin x - tan xx^3) = lim x 0(-x^32x^3)

Passo 5

Simplificando a fração:
-x^32x^3 = -12

Resposta

O limite é .

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