lim x +infty(e^x+2021 x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão que temos é:
lim x +infty(e^x+2021 x)^1x
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito e funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como as diferentes partes da expressão se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro do parêntese quando e^x + 2021x tende ao infinito:
e^x + 2021x approx e^x
Sabemos que cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial, como . Então, quando fica bem grande, domina a expressão inteira. Isso significa que:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
(e^x+2021x)^1x approx (e^x)^1x
Simplificando a potência:
(e^x)^1x = e^xx = e^1 = e

Passo 4

Portanto, ao calcular o limite, percebemos que a contribuição de se torna insignificante comparada a . Assim, o limite simplifica-se para simplesmente .

Resposta

O limite é igual a .

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