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Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a função e queremos encontrar a derivada dessa função no ponto , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da derivação de funções exponenciais com base variável e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Lembrando que pode ser escrito como . Isso é útil porque agora temos uma função composta, onde a exponencial está associada a outra função.

Passo 3

Agora, vamos derivar usando a regra da cadeia. A derivada de é , onde .

Passo 4

Precisamos calcular , onde . Usamos a regra do produto para derivar essa expressão:
Sabemos que e . Então:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada de :
Lembrando que , podemos simplificar para:

Passo 6

Agora, vamos calcular substituindo na expressão:
Sabemos que , . Então:

Resposta

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A área entre e no intervalo [1, 2] é



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