Seja
. Logo
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Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a função
e queremos encontrar a derivada dessa função no ponto
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da derivação de funções exponenciais com base variável e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a derivação. Lembrando que
pode ser escrito como
. Isso é útil porque agora temos uma função composta, onde a exponencial está associada a outra função.
Passo 3
Agora, vamos derivar
usando a regra da cadeia. A derivada de
é
, onde
.
Passo 4
Precisamos calcular
, onde
. Usamos a regra do produto para derivar essa expressão:
Sabemos que
e
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão da derivada de
:
Lembrando que
, podemos simplificar para:
Passo 6
Agora, vamos calcular
substituindo
na expressão:
Sabemos que
,
. Então:
Resposta
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A área entre
e
no intervalo [1, 2] é
ख
ख
Seja
. Então
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Seja
. Então