A área do paralelogramo determinado por u=(-1,2,1) e v=(1,2,-3) é raiz84 u^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área de um paralelogramo definido pelos vetores u=(-1,2,1) e v=(1,2,-3). O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo do produto vetorial entre dois vetores e a magnitude desse produto, que nos dá a área do paralelogramo formado por eles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v. O produto vetorial entre dois vetores em três dimensões resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial é:
u times v = ( uy vz - uz vy, , uz vx - ux vz, , ux vy - uy vx )
Onde u = (ux, uy, uz) e v = (vx, vy, vz).

Passo 3

Vamos aplicar os valores dos vetores u=(-1,2,1) e v=(1,2,-3) na fórmula:
  • Componente x:
uy vz - uz vy = 2 times (-3) - 1 times 2 = -6 - 2 = -8
  • Componente y:
uz vx - ux vz = 1 times 1 - (-1) times (-3) = 1 - 3 = -2
  • Componente z:
ux vy - uy vx = (-1) times 2 - 2 times 1 = -2 - 2 = -4
Então, o produto vetorial é:
u times v = (-8, -2, -4)

Passo 4

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo. A fórmula para a magnitude de um vetor w = (wx, wy, wz) é:
|w| = raizwx^2 + wy^2 + wz^2
Aplicando os valores do nosso vetor u times v = (-8, -2, -4):
|u times v| = raiz(-8)^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = raiz64 + 4 + 16 = raiz84

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores u=(-1,2,1) e v=(1,2,-3) é raiz84 unidades de área.

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