conjunto de vetores é linearmente dependente

Passo 1

Beleza! Vamos lá: O enunciado fala sobre um conjunto de vetores, especificamente , e pergunta se eles são linearmente dependentes. O assunto aqui é álgebra linear, mais precisamente sobre dependência linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um conjunto de vetores ser linearmente dependente e verificar se esses vetores satisfazem essa condição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto de vetores linearmente dependente. Isso acontece quando pelo menos um dos vetores do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma relação onde multiplicamos os vetores por alguns escalares (números) e somamos para obter o vetor zero, sem que todos os escalares sejam zero.
Matematicamente, para nossos vetores e , queremos ver se existe alguma combinação onde e não são ambos zero.

Passo 3

Vamos montar as equações com base na combinação linear:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e . Observando as primeiras duas equações:
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 2:
Substituindo na segunda equação:
Isso confirma que a segunda equação é satisfeita. Agora, vamos verificar a terceira equação:
Substituindo :
Para que isso seja verdadeiro, temos que , ou seja, . Substituindo de volta em , temos .

Passo 5

Encontramos que a única solução para o sistema é e . Isso significa que não existe uma combinação linear não trivial (onde pelo menos um dos escalares não é zero) que resulta no vetor zero.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Resolva a equação , onde e .
Dadas as matrizes e , calcule:
(b) .
A área do paralelogramo determinado por e é
Calcule, se existir, cada produto abaixo:
(d) .