Área de região
Calcule a área finita delimitada entre as funções 1 e (para ). Desenhe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área finita entre as funções e no intervalo de de 0 até . Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente no cálculo de áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas funções se cruzam no intervalo dado, ou seja, onde . Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração ou se há alguma sobreposição que precise ser considerada.

Passo 3

Vamos resolver a equação :
No intervalo de a , quando e quando . Portanto, as funções se intersectam nesses pontos.

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra no intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Assim, vemos que está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, a área entre as duas curvas de a é dada por:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que , então:

Passo 7

Para integrar , podemos usar a identidade trigonométrica:
Assim, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área finita delimitada entre as funções e no intervalo é unidades quadradas.

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Calcule a área da região delimitada pela função no intervalo . Observe que a região corresponde ao semicírculo de raio .
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