Área de região
Calcule a área finita delimitada entre as funções 1 e (para ). Desenhe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área finita entre as funções e no intervalo de de 0 até . Isso entra no conteúdo de Cálculo Integral, especificamente no cálculo de áreas entre curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas funções se cruzam no intervalo dado, ou seja, onde . Isso vai nos ajudar a determinar os limites de integração ou se há alguma sobreposição que precise ser considerada.
Passo 3
Vamos resolver a equação :
No intervalo de a , quando e quando . Portanto, as funções se intersectam nesses pontos.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra no intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, :
Assim, vemos que está acima de nesse intervalo.
Passo 5
Com isso, a área entre as duas curvas de a é dada por:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que , então:
Passo 7
Para integrar , podemos usar a identidade trigonométrica:
Assim, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área finita delimitada entre as funções e no intervalo é unidades quadradas.