Calcule as integrais:

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse tipo de integral envolve conceitos de cálculo, como substituição trigonométrica e manipulação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar usar uma substitição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz. Vamos definir:
Dessa forma, o diferencial fica:

Passo 3

Substituindo e na integral original:
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Substituindo de volta na integral:
Simplificando:
A integral de é:

Passo 4

Agora, voltamos à variável original . Sabemos que:
Usando identidades trigonométricas, temos:
Substituindo na expressão da integral:
Podemos simplificar isso para:

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule as integrais:
Calcule as integrais definidas abaixo.
(i)
Área de região
Calcule a área finita delimitada entre as funções 1 e (para ). Desenhe.
Área de região
Calcule a área da região delimitada pela função no intervalo . Observe que a região corresponde ao semicírculo de raio .