Calcule as integrais: integral 1x raiz25 x^2+16 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral . Esse tipo de integral envolve conceitos de cálculo, como substituição trigonométrica e manipulação de expressões algébricas. Para resolver, vamos precisar usar uma substitição que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz. Vamos definir:
x = 45 tan theta
Dessa forma, o diferencial dx = 45 sec^2 theta , dtheta fica:

Passo 3

Substituindo integral 145 tan theta cdot raiz25 (45 tan theta)^2 + 16 cdot 45 sec^2 theta , dtheta e 25 (1625 tan^2 theta) + 16 = 16 tan^2 theta + 16 = 16 (tan^2 theta + 1) = 16 sec^2 theta na integral original:
raiz16 sec^2 theta = 4 sec theta
Simplificando a expressão dentro da raiz:
integral 145 tan theta cdot 4 sec theta cdot 45 sec^2 theta , dtheta = integral 54 cdot 1tan theta cdot 4 sec theta cdot 45 sec^2 theta , dtheta
Então, a raiz fica:
integral 1tan theta cdot sec theta cdot sec^2 theta , dtheta = integral sec thetatan theta , dtheta = integral 1sin theta , dtheta = integral csc theta , dtheta
Substituindo de volta na integral:
- ln |csc theta + cot theta| + C
Simplificando:
A integral de é:

Passo 4

Agora, voltamos à variável original x = 45 tan theta Rightarrow tan theta = 5x4 . Sabemos que:
csc theta = raiz25x^2 +165x e cot theta = 45x
Usando identidades trigonométricas, temos:
- ln ( raiz25x^2 +165x + 45x ) + C = - ln ( raiz25x^2 +16 + 45x ) + C
Substituindo na expressão da integral:
ln (5x) - ln (raiz25x^2 +16 + 4) + C
Podemos simplificar isso para:

Resposta

ln (5x) - ln (raiz25x^2 +16 + 4) + C

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