Calcule as integrais: integral 1x raizx^2+3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve cálculo de integrais que têm radicais e funções racionais. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão e facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
t = raizx^2 + 3
Isso significa que é uma função que envolve e o radical presente na integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar t = raizx^2 + 3 em relação a t^2 = x^2 + 3 para encontrar 2t dtdx = 2x :
t dtdx = x
dtdx = xt
Derivando ambos os lados em relação a dx = tx , dt :
Simplificando:
Então, rearranjando para :

Passo 4

Agora, vamos substituir integral 1x raizx^2+3 , dx = integral 1x t cdot tx , dt e na integral original:
Aqui, e .

Passo 5

Simplificando a expressão após a substituição:
integral 1x t cdot tx , dt = integral 1x^2 , dt
Mas sabemos que x^2 = t^2 - 3 , então:
1x^2 = 1t^2 - 3
Logo:

Passo 6

Então, a integral fica:
integral 1t^2 - 3 , dt
Essa é uma integral que reconhecemos como uma forma padrão, onde podemos usar a fórmula:
integral 1t^2 - a^2 , dt = 12a ln | t - at + a | + C
Aqui, .

Passo 7

Aplicando a fórmula:
integral 1t^2 - 3 , dt = 12raiz3 ln | t - raiz3t + raiz3 | + C

Passo 8

Agora, voltamos à variável original 12raiz3 ln | raizx^2 + 3 - raiz3raizx^2 + 3 + raiz3 | + C substituindo :

Resposta

A integral é igual a:
12raiz3 ln | raizx^2 + 3 - raiz3raizx^2 + 3 + raiz3 | + C

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