Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve cálculo de integrais que têm radicais e funções racionais. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão e facilita a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Isso significa que é uma função que envolve e o radical presente na integral.
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Derivando ambos os lados em relação a :
Simplificando:
Então, rearranjando para :
Passo 4
Agora, vamos substituir e na integral original:
Aqui, e .
Passo 5
Simplificando a expressão após a substituição:
Mas sabemos que , então:
Logo:
Passo 6
Então, a integral fica:
Essa é uma integral que reconhecemos como uma forma padrão, onde podemos usar a fórmula:
Aqui, .
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Agora, voltamos à variável original substituindo :