Calcule as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral . Isso envolve cálculo de integrais que têm radicais e funções racionais. Para resolver, vamos usar uma técnica de substituição que simplifica a expressão e facilita a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Isso significa que é uma função que envolve e o radical presente na integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Derivando ambos os lados em relação a :
Simplificando:
Então, rearranjando para :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral original:
Aqui, e .

Passo 5

Simplificando a expressão após a substituição:
Mas sabemos que , então:
Logo:

Passo 6

Então, a integral fica:
Essa é uma integral que reconhecemos como uma forma padrão, onde podemos usar a fórmula:
Aqui, .

Passo 7

Aplicando a fórmula:

Passo 8

Agora, voltamos à variável original substituindo :

Resposta

A integral é igual a:

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