Área de região
Calcule a área da região delimitada pela função
no intervalo
. Observe que a região corresponde ao semicírculo de raio
.
Calcule a área da região delimitada pela função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região delimitada pela função
no intervalo
. Basicamente, estamos lidando com geometria analítica e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração definida para encontrar a área sob a curva dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa função representa. A função
é a equação de um semicírculo de raio
centrado na origem do sistema de coordenadas. Isso porque, se elevarmos ambos os lados ao quadrado, obtemos
, que é a equação de um círculo
, mas apenas para os valores positivos de
, ou seja, a parte de cima do círculo.
Passo 3
Para encontrar a área dessa região, vamos calcular a integral definida de
de
até
. A integral definida nos dá a área sob a curva de uma função em um intervalo específico. A fórmula geral para isso é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar
, o que implica que
. Substituindo na integral, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a integral de
. Sabemos que:
Então, substituindo:
Integrando termo a termo:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
e
, então simplifica para:
Resposta
A área da região delimitada pela função
no intervalo
é:
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Área de região
Calcule a área finita delimitada entre as funções 1 e (para
). Desenhe.
Calcule a área finita delimitada entre as funções 1 e
Calcule as integrais:
Calcule as integrais:
A barra possui, inicialmente, a temperatura em seus pontos dada por
, estando com suas extremidades isoladas, sendo assim mantida até atingir o equilíbrio térmico. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse equilíbrio é atingido.