Área de região
Calcule a área da região delimitada pela função f(x) = raiz(R^2 - x^2) no intervalo [-R, R]. Observe que a região corresponde ao semicírculo de raio R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região delimitada pela função no intervalo . Basicamente, estamos lidando com geometria analítica e cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a integração definida para encontrar a área sob a curva dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa função representa. A função é a equação de um semicírculo de raio centrado na origem do sistema de coordenadas. Isso porque, se elevarmos ambos os lados ao quadrado, obtemos , que é a equação de um círculo , mas apenas para os valores positivos de , ou seja, a parte de cima do círculo.

Passo 3

Para encontrar a área dessa região, vamos calcular a integral definida de de até . A integral definida nos dá a área sob a curva de uma função em um intervalo específico. A fórmula geral para isso é:
Á
No nosso caso, e , então:
Á

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar , o que implica que . Substituindo na integral, temos:
Á
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Á

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral de . Sabemos que:
Então, substituindo:
Integrando termo a termo:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
Sabemos que e , então simplifica para:

Resposta

A área da região delimitada pela função no intervalo é:

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