Calcule as integrais: integral 1x raiz4-x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral . Esse problema envolve técnicas de integração que usamos no cálculo, especificamente a substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões com raízes quadradas de polinômios quadráticos como . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas e como fazer substituições apropriadas para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada. Observe que temos raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = raiz4(1 - sin^2theta) = 2costheta , que se assemelha à identidade . Vamos definir . Com essa substituição, podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 3

Agora, precisamos substituir dx = 2costheta , dtheta e integral 1x raiz4 - x^2 , dx = integral 12sintheta cdot 2costheta cdot 2costheta , dtheta na integral original. Como , derivando ambos os lados em relação a , obtemos:
Substituindo e na integral, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão:
integral 12sintheta cdot 2costheta cdot 2costheta , dtheta = integral 14sintheta costheta cdot 2costheta , dtheta = integral 12sintheta , dtheta
Isso simplifica para:
12 integral 1sintheta , dtheta
Sabemos que 12 integral csctheta , dtheta , então:

Passo 5

A integral de integral csctheta , dtheta = ln|tan(theta/2)| + C é uma integral padrão. Sabemos que:
12 ln|tan(theta/2)| + C
Portanto, temos:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original tan(theta/2) = 1 - costhetasintheta . Lembrando que fizemos a substituição tan(theta/2) = 1 - raiz4 - x^22x2 = 2 - raiz4 - x^2x , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de .
No triângulo, temos:
  • O lado oposto a é .
  • A hipotenusa é 2.
  • O lado adjacente é .
A tangente da metade do ângulo pode ser expressa como:
Sabendo que e , substituímos na expressão:

Passo 7

Substituindo de volta na nossa expressão integrada:
12 ln|2 - raiz4 - x^2x| + C
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo, se desejar, mas essa é uma forma válida da integral.

Resposta

A integral 12 ln|2 - raiz4 - x^2x| + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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