Calcule as integrais:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral . Esse problema envolve técnicas de integração que usamos no cálculo, especificamente a substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões com raízes quadradas de polinômios quadráticos como . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as identidades trigonométricas e como fazer substituições apropriadas para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição trigonométrica para simplificar a raiz quadrada. Observe que temos , que se assemelha à identidade . Vamos definir . Com essa substituição, podemos reescrever da seguinte forma:

Passo 3

Agora, precisamos substituir e na integral original. Como , derivando ambos os lados em relação a , obtemos:
Substituindo e na integral, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão:
Isso simplifica para:
Sabemos que , então:

Passo 5

A integral de é uma integral padrão. Sabemos que:
Portanto, temos:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que fizemos a substituição , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de .
No triângulo, temos:
  • O lado oposto a é .
  • A hipotenusa é 2.
  • O lado adjacente é .
A tangente da metade do ângulo pode ser expressa como:
Sabendo que e , substituímos na expressão:

Passo 7

Substituindo de volta na nossa expressão integrada:
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo, se desejar, mas essa é uma forma válida da integral.

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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