Área de região
Calcule a área finita delimitada entre as funções e . Desenhe a região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada entre as funções e . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais definidas e áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas duas funções se encontram e depois calcular a integral da diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se intersectam. Isso significa resolver a equação .
Vamos reorganizar a equação:
Agora, vamos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos de interseção são , e .
Passo 3
Agora, precisamos saber qual das duas funções está por cima no intervalo entre e . Para isso, podemos escolher um valor de dentro desse intervalo e comparar os valores das funções.
Vamos escolher :
Vimos que é maior que nesse ponto, então está por cima de nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a integral definida da diferença das funções que estão por cima menos as que estão embaixo, no intervalo de interseção.
A fórmula para a área é:
Onde:
é a função de cima ()
é a função de baixo ()
e são os limites de integração ( e )
Então, nossa integral fica:
Simplificando dentro da integral:
Portanto:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Substituindo:
Resposta
A área finita delimitada entre as funções e é unidades de área.