Área de região
Calcule a área finita delimitada entre as funções 2 x^2 e x^4 - x^2. Desenhe a região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área delimitada entre as funções e . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integrais definidas e áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essas duas funções se encontram e depois calcular a integral da diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se intersectam. Isso significa resolver a equação .
Vamos reorganizar a equação:
Agora, vamos fatorar:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora, precisamos saber qual das duas funções está por cima no intervalo entre e . Para isso, podemos escolher um valor de dentro desse intervalo e comparar os valores das funções.
Vamos escolher :
Vimos que é maior que nesse ponto, então está por cima de nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a integral definida da diferença das funções que estão por cima menos as que estão embaixo, no intervalo de interseção.
A fórmula para a área é:
Onde:
  • é a função de cima ( )
  • é a função de baixo ( )
  • e são os limites de integração ( e )
Então, nossa integral fica:
Simplificando dentro da integral:
Portanto:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Substituindo:

Resposta

A área finita delimitada entre as funções e é unidades de área.

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