Área de região
Calcule a área da região delimitada pela função no intervalo . Desenhe a região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a área de uma região delimitada pela função no intervalo de . Vamos precisar usar conceitos de funções absolutas, integração para encontrar áreas e entender como desenhar o gráfico dessa função para visualizar a região que queremos calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . A função valor absoluto retorna sempre valores positivos ou zero. Isso significa que vai pegar o valor de e tornar negativo se for menor que zero.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde é igual a zero, porque nesses pontos a função muda de forma. Resolviendo :
Então, os pontos críticos são e .
Passo 4
Agora, vamos dividir o intervalo em partes onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa:
Para e , é negativo.
Para , é positivo.
Isso é importante para simplificar a função sem o valor absoluto em cada intervalo.
Passo 5
Reescrevendo sem o valor absoluto em cada intervalo:
Para e :
Para :
Passo 6
O próximo passo é desenhar o gráfico de para visualizar a região. Será uma espécie de “V” invertido nos intervalos onde a função é positiva e uma parábola normal onde é negativa.
Passo 7
Para encontrar a área total, vamos integrar em cada um dos subintervalos e somar os resultados:
Á
Passo 8
Vamos calcular cada integral separadamente:
Passo 9
Agora, somamos todas as áreas encontradas:
Á
Resposta
A área da região delimitada pela função no intervalo é unidades quadradas.