Área de região
Calcule a área da região delimitada pela função no intervalo . Desenhe a região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a área de uma região delimitada pela função no intervalo de . Vamos precisar usar conceitos de funções absolutas, integração para encontrar áreas e entender como desenhar o gráfico dessa função para visualizar a região que queremos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A função valor absoluto retorna sempre valores positivos ou zero. Isso significa que vai pegar o valor de e tornar negativo se for menor que zero.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde é igual a zero, porque nesses pontos a função muda de forma. Resolviendo :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos dividir o intervalo em partes onde a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa:
  • Para e , é negativo.
  • Para , é positivo.
Isso é importante para simplificar a função sem o valor absoluto em cada intervalo.

Passo 5

Reescrevendo sem o valor absoluto em cada intervalo:
  • Para e :
  • Para :

Passo 6

O próximo passo é desenhar o gráfico de para visualizar a região. Será uma espécie de “V” invertido nos intervalos onde a função é positiva e uma parábola normal onde é negativa.

Passo 7

Para encontrar a área total, vamos integrar em cada um dos subintervalos e somar os resultados:
Á

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente:

Passo 9

Agora, somamos todas as áreas encontradas:
Á

Resposta

A área da região delimitada pela função no intervalo é unidades quadradas.

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? Justifique!