Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições a extremidade da barra passa a ter sua temperatura fixada em 10, e a extremidade passa a ter sua temperatura fixada em . Nessas condições, a barra é novamente deixada por um longo período, até novamente atingir um estado estacionário, em que a temperatura para de variar com o tempo. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse estado estacionário é atingido.
Passo 1
Então, galera, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos uma barra com comprimento de 3 unidades onde a temperatura na ponta esquerda () está fixa em 10°C e na ponta direita () está fixa em 0°C. A gente precisa descobrir como a temperatura está distribuída ao longo da barra quando ela para de mudar com o tempo, ou seja, quando atinge o estado estacionário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas à transferência de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estar no estado estacionário. Nesse caso, a temperatura em qualquer ponto da barra não muda mais com o tempo. Matemáticamente, isso significa que a derivada da temperatura em relação ao tempo é zero:
Assim, a equação do calor que geralmente depende do tempo simplifica para uma equação que só depende do espaço.
Passo 3
A equação do calor em uma dimensão é dada por:
Onde é a difusividade térmica. Mas, como já estamos no estado estacionário, a derivada temporal é zero:
Podemos simplificar isso para:
Passo 4
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial:
Integrando uma vez em relação a , obtemos:
Onde é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui, é outra constante de integração. Então, a solução geral é uma função linear.
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de e .
Primeira condição: quando , .
Segunda condição: quando , .
Resposta
Com essas constantes, a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra em estado estacionário é: