Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições a extremidade x = 0 da barra passa a ter sua temperatura fixada em u(0, t) = 10, e a extremidade x = 3 passa a ter sua temperatura fixada em u(3, t) = 0. Nessas condições, a barra é novamente deixada por um longo período, até novamente atingir um estado estacionário, em que a temperatura para de variar com o tempo. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse estado estacionário é atingido.

Passo 1

Então, galera, vamos dar uma olhada nesse problema. Temos uma barra com comprimento de 3 unidades onde a temperatura na ponta esquerda ( x = 0) está fixa em 10°C e na ponta direita ( x = 3) está fixa em 0°C. A gente precisa descobrir como a temperatura está distribuída ao longo da barra quando ela para de mudar com o tempo, ou seja, quando atinge o estado estacionário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas à transferência de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar no estado estacionário. Nesse caso, a temperatura em qualquer ponto da barra não muda mais com o tempo. Matemáticamente, isso significa que a derivada da temperatura em relação ao tempo é zero:
Assim, a equação do calor que geralmente depende do tempo simplifica para uma equação que só depende do espaço.

Passo 3

A equação do calor em uma dimensão é dada por:
Onde alpha é a difusividade térmica. Mas, como já estamos no estado estacionário, a derivada temporal é zero:
Podemos simplificar isso para:

Passo 4

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial:
Integrando uma vez em relação a x, obtemos:
Onde é uma constante de integração. Integrando novamente:
Aqui, é outra constante de integração. Então, a solução geral é uma função linear.

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar os valores de e .
Primeira condição: quando x = 0, .
Segunda condição: quando x = 3, .

Resposta

Com essas constantes, a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra em estado estacionário é:

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