Utilize os limites fundamentais para calcular: lim x longrightarrow pi^-(1+cos x)^sec x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o limite:
lim x longrightarrow pi^-(1+cos x)^sec x
Aqui, estamos querendo saber o valor que essa expressão se aproxima quando se aproxima de vindo pela esquerda. Vamos precisar usar conceitos de limites fundamentais, especialmente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando se aproxima de pela esquerda.
  • A função cosseno, , quando se aproxima de , sabemos que . Então, vai se aproximar de porque .
  • A função secante, , é o inverso do cosseno, ou seja, . Então, quando se aproxima de , se aproxima de .

Passo 3

Agora, temos a expressão (1 + cos x)^sec x = e^sec x cdot ln(1 + cos x) onde:
  • A base está se aproximando de .
  • O expoente está se aproximando de .
Então, estamos olhando para uma forma do tipo , que pode ser um pouco confusa. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão usando a propriedade das exponenciais:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
lim x longrightarrow pi^- sec x cdot ln(1 + cos x)
Sabemos que:
  • quando se aproxima de vai para , que é .
  • vai para .
Então, multiplicando por , obtemos .

Passo 5

Voltando à expressão original reescrita:
e^sec x cdot ln(1 + cos x)
Sabemos que o limite do expoente é e^+infty = +infty , então temos:

Resposta

lim x longrightarrow pi^-(1+cos x)^sec x = +infty

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