Utilize os limites fundamentais para calcular:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o limite:
Aqui, estamos querendo saber o valor que essa expressão se aproxima quando se aproxima de vindo pela esquerda. Vamos precisar usar conceitos de limites fundamentais, especialmente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando se aproxima de pela esquerda.
- A função cosseno, , quando se aproxima de , sabemos que . Então, vai se aproximar de porque .
- A função secante, , é o inverso do cosseno, ou seja, . Então, quando se aproxima de , se aproxima de .
Passo 3
Agora, temos a expressão onde:
- A base está se aproximando de .
- O expoente está se aproximando de .
Então, estamos olhando para uma forma do tipo , que pode ser um pouco confusa. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão usando a propriedade das exponenciais:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente:
Sabemos que:
- quando se aproxima de vai para , que é .
- vai para .
Então, multiplicando por , obtemos .
Passo 5
Voltando à expressão original reescrita:
Sabemos que o limite do expoente é , então temos:
Resposta
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A barra possui, inicialmente, a temperatura em seus pontos dada por , estando com suas extremidades isoladas, sendo assim mantida até atingir o equilíbrio térmico. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse equilíbrio é atingido.
Calcule as integrais:
Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições a extremidade da barra passa a ter sua temperatura fixada em 10, e a extremidade passa a ter sua temperatura fixada em . Nessas condições, a barra é novamente deixada por um longo período, até novamente atingir um estado estacionário, em que a temperatura para de variar com o tempo. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse estado estacionário é atingido.
Área de região
Calcule a área finita delimitada entre as funções e . Desenhe a região.