Utilize os limites fundamentais para calcular:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos o limite: Aqui, estamos querendo saber o valor que essa expressão se aproxima quando se aproxima de vindo pela esquerda. Vamos precisar usar conceitos de limites fundamentais, especialmente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da expressão quando se aproxima de pela esquerda. - A função cosseno, , quando se aproxima de , sabemos que . Então, vai se aproximar de porque . - A função secante, , é o inverso do cosseno, ou seja, . Então, quando se aproxima de , se aproxima de .

Passo 3

Agora, temos a expressão onde: - A base está se aproximando de . - O expoente está se aproximando de . Então, estamos olhando para uma forma do tipo , que pode ser um pouco confusa. Para resolver isso, vamos reescrever a expressão usando a propriedade das exponenciais:

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite dentro do expoente: Sabemos que: - quando se aproxima de vai para , que é . - vai para . Então, multiplicando por , obtemos .

Passo 5

Voltando à expressão original reescrita: Sabemos que o limite do expoente é , então temos:

Resposta

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A barra possui, inicialmente, a temperatura em seus pontos dada por , estando com suas extremidades isoladas, sendo assim mantida até atingir o equilíbrio térmico. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse equilíbrio é atingido.
Calcule as integrais:
Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições a extremidade da barra passa a ter sua temperatura fixada em 10, e a extremidade passa a ter sua temperatura fixada em . Nessas condições, a barra é novamente deixada por um longo período, até novamente atingir um estado estacionário, em que a temperatura para de variar com o tempo. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse estado estacionário é atingido.
Área de região Calcule a área finita delimitada entre as funções e . Desenhe a região.