Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, ache a função potencial.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, a gente também precisa achar a função potencial desse campo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo é conservativo usando o cálculo do rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que:
Isso significa que o campo pode ser obtido a partir das derivadas parciais da função potencial em relação a cada coordenada.
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, uma abordagem comum é calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Se o rotacional de for o vetor zero, ou seja, , então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional de :
Primeiro, identifiquemos as componentes de :
Agora, calculemos as derivadas parciais:
(já que não depende de )
(já que não depende de )
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Vemos que todas as componentes do rotacional são zero. Portanto, .
Passo 6
Como o rotacional de é zero, podemos concluir que o campo vetorial é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial tal que .
Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
Onde é uma função arbitrária de e .
Passo 8
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .
Passo 9
Substituímos na expressão de :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de .
Resposta
O campo vetorial é conservativo. A função potencial é dada por: