Determine se o campo vetorial
é conservativo ou não. Se for conservativo, ache a função potencial.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial
é conservativo ou não. Se for conservativo, a gente também precisa achar a função potencial desse campo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo é conservativo usando o cálculo do rotacional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar
tal que:
Isso significa que o campo pode ser obtido a partir das derivadas parciais da função potencial
em relação a cada coordenada.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, uma abordagem comum é calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Se o rotacional de
for o vetor zero, ou seja,
, então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional de
:
Primeiro, identifiquemos as componentes de
:
Agora, calculemos as derivadas parciais:
-
-
-
(já que não depende de ) -
(já que não depende de ) -
-
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Vemos que todas as componentes do rotacional são zero. Portanto,
.
Passo 6
Como o rotacional de
é zero, podemos concluir que o campo vetorial
é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
.
Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 7
Primeiro, integramos
em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 8
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 9
Substituímos
na expressão de
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo. A função potencial é dada por:
onde
é uma constante.