Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, ache a função potencial.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, a gente também precisa achar a função potencial desse campo. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como verificar se um campo é conservativo usando o cálculo do rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que:
Isso significa que o campo pode ser obtido a partir das derivadas parciais da função potencial em relação a cada coordenada.

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, uma abordagem comum é calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Se o rotacional de for o vetor zero, ou seja, , então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional de :
Primeiro, identifiquemos as componentes de :
Agora, calculemos as derivadas parciais:
  1. (já que não depende de )
  2. (já que não depende de )

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
Vemos que todas as componentes do rotacional são zero. Portanto, .

Passo 6

Como o rotacional de é zero, podemos concluir que o campo vetorial é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial tal que .
Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Onde é uma função arbitrária de e .

Passo 8

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .

Passo 9

Substituímos na expressão de :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Resposta

O campo vetorial é conservativo. A função potencial é dada por:
onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Área de região
Calcule a área da região delimitada pela função no intervalo . Desenhe a região.
Área de região
Calcule a área finita delimitada entre as funções e . Desenhe a região.
Existe um campo vetorial em tal que
? Justifique!
Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(d)