A barra possui, inicialmente, a temperatura em seus pontos dada por , estando com suas extremidades isoladas, sendo assim mantida até atingir o equilíbrio térmico. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse equilíbrio é atingido.

Passo 1

Vamos resolver um problema de equilíbrio térmico em uma barra. Inicialmente, a temperatura na barra é dada por . As extremidades da barra estão isoladas, ou seja, não há troca de calor com o ambiente nessas pontas. Nosso objetivo é encontrar a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando o equilíbrio térmico é atingido. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de calor e condições de contorno de isolamento.

Passo 2

No equilíbrio térmico, a temperatura na barra não muda mais com o tempo. Isso significa que a derivada da temperatura em relação ao tempo é zero. A equação de calor em uma dimensão é dada por:
Onde é a difusividade térmica da barra. No equilíbrio térmico, , então a equação simplifica para:

Passo 3

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por (que é diferente de zero):
Essa é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem. A solução geral dessa equação é uma função linear em :
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

As condições de contorno são que as extremidades da barra estão isoladas. Isso significa que não há fluxo de calor nas extremidades, ou seja, a derivada da temperatura em relação a nessas pontas é zero.
Se considerarmos a barra no intervalo , as condições de contorno são:
A barra pode ser assumida simétrica em relação a algum ponto, mas como não temos informações específicas sobre os limites e , podemos considerar uma barra de comprimento e aplicar as condições de contorno.

Passo 5

Aplicando a condição de que a derivada de em relação a é zero nas extremidades:
Isso implica que . Portanto, a função de temperatura no equilíbrio térmico é:

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor de . Para isso, usamos a condição inicial média, já que no equilíbrio térmico a temperatura será constante ao longo da barra e igual à média da temperatura inicial.
Calculamos a média de no intervalo considerado. Supondo que a barra seja simétrica e vá de a :
é
Integrando:
Portanto:
é

Passo 7

Assim, a função de temperatura no equilíbrio térmico é constante e igual à média calculada:
Se a barra tem comprimento específico e é conhecido, podemos substituir para encontrar o valor numérico. Caso contrário, a solução geral no equilíbrio é uma constante.

Resposta

A distribuição de temperaturas na barra no equilíbrio térmico é constante e dada por:
Onde é a metade do comprimento total da barra.

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Calcule as integrais:
Área de região
Calcule a área da região delimitada pela função no intervalo . Observe que a região corresponde ao semicírculo de raio .
Utilize os limites fundamentais para calcular:
Quando a barra atinge equilíbrio térmico nessas condições a extremidade da barra passa a ter sua temperatura fixada em 10, e a extremidade passa a ter sua temperatura fixada em . Nessas condições, a barra é novamente deixada por um longo período, até novamente atingir um estado estacionário, em que a temperatura para de variar com o tempo. Determine a função que descreve a distribuição de temperaturas na barra quando esse estado estacionário é atingido.