Existe um campo vetorial em tal que
? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se existe um campo vetorial em tal que o rotacional de ( ) é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e quais condições ele precisa cumprir para existir um campo que o gera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial mede a tendência do campo de “girar” ao redor de cada ponto. Se quisermos encontrar um campo que gere um rotacional específico, precisamos verificar se esse rotacional satisfaz certas condições matemáticas.

Passo 3

Uma condição importante é que o divergente do rotacional de qualquer campo vetorial seja sempre zero. Ou seja, . Isso é uma propriedade geral da matemática vetorial e precisamos verificar se o nosso rotacional dado satisfaz essa condição.

Passo 4

Vamos calcular o divergente do nosso rotacional:
Vamos calcular cada termo:
  • (porque não depende de )

Passo 5

Agora, somamos esses termos:
Para que seja válido, esse divergente precisa ser igual a zero:

Passo 6

Observamos que a equação acima só é satisfeita se . Entretanto, olhando para os termos:
  • é sempre positivo ou indefinido (quando )
  • também é sempre positivo ou indefinido (quando )
  • pode ser positivo ou negativo dependendo dos valores de e , mas não pode cancelar os termos positivos dos outros dois.

Passo 7

Portanto, não existe combinação de , e que faça para todos os pontos em . Isso implica que o divergente de não é zero.

Passo 8

Como o divergente do rotacional de não é zero, isso viola uma das condições necessárias para que exista um campo cujo rotacional seja o dado no enunciado.

Resposta

Não existe um campo vetorial em tal que , pois o divergente do rotacional não é zero.

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