Existe um campo vetorial
em
tal que
? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se existe um campo vetorial
em
tal que o rotacional de
(
) é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e quais condições ele precisa cumprir para existir um campo
que o gera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial
mede a tendência do campo
de “girar” ao redor de cada ponto. Se quisermos encontrar um campo
que gere um rotacional específico, precisamos verificar se esse rotacional satisfaz certas condições matemáticas.
Passo 3
Uma condição importante é que o divergente do rotacional de qualquer campo vetorial seja sempre zero. Ou seja,
. Isso é uma propriedade geral da matemática vetorial e precisamos verificar se o nosso rotacional dado satisfaz essa condição.
Passo 4
Vamos calcular o divergente do nosso rotacional:
Vamos calcular cada termo:
-
(porque não depende de ) -
-
Passo 5
Agora, somamos esses termos:
Para que
seja válido, esse divergente precisa ser igual a zero:
Passo 6
Observamos que a equação acima só é satisfeita se
. Entretanto, olhando para os termos:
-
é sempre positivo ou indefinido (quando ) -
também é sempre positivo ou indefinido (quando ) -
pode ser positivo ou negativo dependendo dos valores de e , mas não pode cancelar os termos positivos dos outros dois.
Passo 7
Portanto, não existe combinação de
,
e
que faça
para todos os pontos em
. Isso implica que o divergente de
não é zero.
Passo 8
Como o divergente do rotacional de
não é zero, isso viola uma das condições necessárias para que exista um campo
cujo rotacional seja o dado no enunciado.
Resposta
Não existe um campo vetorial
em
tal que
, pois o divergente do rotacional não é zero.