Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se existe um campo vetorial em tal que o rotacional de () é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional de um campo vetorial e quais condições ele precisa cumprir para existir um campo que o gera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o rotacional de um campo vetorial mede a tendência do campo de “girar” ao redor de cada ponto. Se quisermos encontrar um campo que gere um rotacional específico, precisamos verificar se esse rotacional satisfaz certas condições matemáticas.
Passo 3
Uma condição importante é que o divergente do rotacional de qualquer campo vetorial seja sempre zero. Ou seja, . Isso é uma propriedade geral da matemática vetorial e precisamos verificar se o nosso rotacional dado satisfaz essa condição.
Passo 4
Vamos calcular o divergente do nosso rotacional:
Vamos calcular cada termo:
(porque não depende de )
Passo 5
Agora, somamos esses termos:
Para que seja válido, esse divergente precisa ser igual a zero:
Passo 6
Observamos que a equação acima só é satisfeita se . Entretanto, olhando para os termos:
é sempre positivo ou indefinido (quando )
também é sempre positivo ou indefinido (quando )
pode ser positivo ou negativo dependendo dos valores de e , mas não pode cancelar os termos positivos dos outros dois.
Passo 7
Portanto, não existe combinação de , e que faça para todos os pontos em . Isso implica que o divergente de não é zero.
Passo 8
Como o divergente do rotacional de não é zero, isso viola uma das condições necessárias para que exista um campo cujo rotacional seja o dado no enunciado.
Resposta
Não existe um campo vetorial em tal que , pois o divergente do rotacional não é zero.