Área de região
Calcule a área da região delimitada pela função no intervalo . Desenhe a região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área da região delimitada pela função no intervalo de de a . Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente de integrais definidas para encontrar áreas sob curvas. Vamos precisar entender como a função se comporta nesse intervalo e usar a integral para calcular a área total.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que é uma função exponencial decrescente, e é uma função periódica que oscila entre -1 e 1. O valor absoluto faz com que todas as partes da função fiquem acima do eixo , ou seja, positivas. Portanto, a função vai oscilar de forma decrescente no intervalo de a .

Passo 3

Para calcular a área sob a curva dessa função no intervalo dado, usamos a integral definida. A área pode ser expressa como:
Mas como já temos o valor absoluto, podemos simplificar a integral sem nos preocuparmos com as partes negativas da função .

Passo 4

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos uma integrável padrão para funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas. A integral de é conhecida e pode ser calculada usando a fórmula:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculamos primeiro para :
Agora, para :
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

A área da região delimitada pela função no intervalo de a é:

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