Encontre a solução do P.V.I. (Problema de Valor Inicial)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A gente vai precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar soluções homogêneas e particulares. Basicamente, vamos separar a solução em duas partes: uma que resolve a equação sem o lado direito (a parte homogênea) e outra que resolve considerando o lado direito (a parte particular). No final, vamos aplicar as condições iniciais para achar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica. Substituímos e chegamos em:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar mais tarde usando as condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação não homogênea:
A gente vai tratar cada termo do lado direito separadamente e depois somar as soluções particulares.

Passo 6

Primeiro termo:
Para , assumimos uma solução particular da forma:
Segundo termo:
Para o polinômio , assumimos:
Terceiro termo:
Nota importante: já está na solução homogênea ( ), então precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular independente:
Então, a solução particular geral será:

Passo 7

Vamos encontrar cada individualmente.
Para :
Derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Portanto,
Para :
Derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Organizando por potências de :
Igualando os coeficientes:
Então,
Para :
Derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Portanto,

Passo 8

Agora, juntamos todas as soluções particulares:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 10

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeira condição:
Substituindo :
Segunda condição:
Primeiro, calculamos a derivada :
Substituindo :
Calculando os valores:
Agora temos o sistema:
Multiplicando a primeira equação por 2:
Subtraindo da segunda equação:
Substituindo em :

Resposta

A solução do P.V.I. é:

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