Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
, no ponto
e use-a para obter um valor aproximado para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Depois, vamos usar esse plano para aproximar o valor de
. Para fazer isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície
no ponto
é dado por:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Sabendo que
, a equação do plano tangente fica:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Passo 7
Agora, vamos usar o plano tangente para aproximar
. Vamos considerar
e
.
Substituindo no plano tangente:
Passo 8
Calculando os termos:
Somando:
Resposta
A equação do plano tangente é
e o valor aproximado de
é
.