Determine a equação do plano tangente ao gráfico de , no ponto e use-a para obter um valor aproximado para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Depois, vamos usar esse plano para aproximar o valor de . Para fazer isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto é dado por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Sabendo que , a equação do plano tangente fica:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:

Passo 7

Agora, vamos usar o plano tangente para aproximar . Vamos considerar e .
Substituindo no plano tangente:

Passo 8

Calculando os termos:
Somando:

Resposta

A equação do plano tangente é e o valor aproximado de é .

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