Determine a equação do plano tangente ao gráfico de , no ponto e use-a para obter um valor aproximado para .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto . Depois, vamos usar esse plano para aproximar o valor de . Para fazer isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto é dado por:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 5
Sabendo que , a equação do plano tangente fica:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Passo 7
Agora, vamos usar o plano tangente para aproximar . Vamos considerar e .
Substituindo no plano tangente:
Passo 8
Calculando os termos:
Somando:
Resposta
A equação do plano tangente é e o valor aproximado de é .