Calcule as integrais indefinidas abaixo.
(x) integral sen^3 x raiz[3]cos x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e potências delas. Para resolver essa integral, vamos usar o método de substituição, que nos ajuda a simplificar expressões complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral de uma forma que facilite a substituição. Sabemos que integral sin^2 x cdot sin x cdot cos^1/3 x , dx . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, usamos uma identidade trigonométrica importante: integral (1 - cos^2 x) cdot sin x cdot cos^1/3 x , dx . Substituindo isso na integral, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral multiplicando integral sin x cdot cos^1/3 x , dx - integral sin x cdot cos^7/3 x , dx e por cada termo:

Passo 5

Agora, observamos que ambas as integrais têm a forma , onde podemos usar substituição. Vamos considerar a substituição , então , ou seja, .

Passo 6

Aplicando a substituição na primeira integral:
integral sin x cdot cos^1/3 x , dx = -integral u^1/3 , du = -u^4/34/3 + C = -34 cos^4/3 x + C
E na segunda integral:
integral sin x cdot cos^7/3 x , dx = -integral u^7/3 , du = -u^10/310/3 + C = -310 cos^10/3 x + C

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes:
-34 cos^4/3 x + 310 cos^10/3 x + C

Resposta

A integral -34 cos^4/3 x + 310 cos^10/3 x + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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