Qual é a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo , da curva ?

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo , no intervalo de . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente no estudo de áreas de superfícies de revolução. Para resolver, vamos precisar usar integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da curva: . Essa é uma parábola que abre para a direita. Para facilitar, vamos expressar em função de :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, :

Passo 4

A fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo é:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos substituir e na fórmula:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 6

Agora, a integral fica:
Podemos simplificar multiplicando os termos:
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 7

Vamos resolver a integral . Fazendo a substituição , então . Os limites de integração mudam para e .
A integral fica:
Calculando:
Simplificando:
Então:

Passo 8

Multiplicando pela constante fora da integral:
Simplificando as frações:

Resposta

A área da superfície de revolução é:
á

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