Qual é a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo
, da curva
?
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver juntos esse exercício que pede para encontrar a área da superfície gerada pela rotação da curva
em torno do eixo
, no intervalo de
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo, especificamente no estudo de áreas de superfícies de revolução. Para resolver, vamos precisar usar integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da curva:
. Essa é uma parábola que abre para a direita. Para facilitar, vamos expressar
em função de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
:
Passo 4
A fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo
é:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos substituir
e
na fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Podemos simplificar multiplicando os termos:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 7
Vamos resolver a integral
. Fazendo a substituição
, então
. Os limites de integração mudam para
e
.
A integral fica:
Calculando:
Simplificando:
Então:
Passo 8
Multiplicando pela constante fora da integral:
Simplificando as frações:
Resposta
A área da superfície de revolução é:
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