Calcule o valor médio das funções seguintes:
em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor médio da função no intervalo de . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de integrais e médias de funções. Vamos precisar saber como calcular integrais definidas e aplicar a fórmula do valor médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função em um intervalo . A fórmula é:
é
Isso significa que a gente vai integrar a função no intervalo dado e depois dividir pelo comprimento desse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a integral da função de a . A integral de uma função é basicamente encontrar a área sob a curva dessa função no intervalo dado.
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir os limites de integração e na expressão que encontramos:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Passo 5

Agora que temos o valor da integral, vamos usar a fórmula do valor médio. O intervalo é de a , então .
é

Resposta

O valor médio da função no intervalo é .

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Calcule o valor médio das funções seguintes:
Qual é a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo , da curva ?