Calcule o valor médio das funções seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor médio da função no intervalo de . Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função, que é calculado integrando a função no intervalo e dividindo pelo tamanho desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do valor médio de uma função no intervalo . A fórmula é:
é

Passo 3

No nosso caso, a função é , e o intervalo é . Então, vamos substituir esses valores na fórmula:
é

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar a substituição . Assim, derivando em relação a :
No entanto, temos na integral, então precisamos expressar tudo em termos de :

Passo 5

Substituindo na integral, obtemos:
Mas como , a expressão fica um pouco complicada. Para simplificar, podemos reescrever a integral original de outra forma ou considerar uma outra substituição. Vamos tentar integrar por partes.

Passo 6

Vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes , temos:
Simplificando:
Essa abordagem está ficando complicada, então vamos optar por uma substituição mais direta.

Passo 7

Vamos retomar a substituição , então . A integral original pode ser reescrita como:
Simplificando:

Passo 8

Voltando para :
Agora, avaliamos essa antiderivada de a :

Passo 9

Calculando em :
Sabendo que :
Calculando em :

Passo 10

Subtraindo os valores:

Passo 11

Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
é
Simplificando:
é

Resposta

O valor médio da função no intervalo é:

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