Calcule o valor médio das funções seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor médio da função
no intervalo de
. Para isso, vamos usar o conceito de valor médio de uma função, que é calculado integrando a função no intervalo e dividindo pelo tamanho desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula do valor médio de uma função
no intervalo
. A fórmula é:
Passo 3
No nosso caso, a função é
, e o intervalo é
. Então, vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, vamos usar a substituição
. Assim, derivando em relação a
:
No entanto, temos
na integral, então precisamos expressar tudo em termos de
:
Passo 5
Substituindo na integral, obtemos:
Mas como
, a expressão fica um pouco complicada. Para simplificar, podemos reescrever a integral original de outra forma ou considerar uma outra substituição. Vamos tentar integrar por partes.
Passo 6
Vamos usar a integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
, temos:
Simplificando:
Essa abordagem está ficando complicada, então vamos optar por uma substituição mais direta.
Passo 7
Vamos retomar a substituição
, então
. A integral original pode ser reescrita como:
Simplificando:
Passo 8
Voltando para
:
Agora, avaliamos essa antiderivada de
a
:
Passo 9
Calculando em
:
Sabendo que
:
Calculando em
:
Passo 10
Subtraindo os valores:
Passo 11
Agora, voltamos à fórmula do valor médio:
Simplificando:
Resposta
O valor médio da função
no intervalo
é:
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, da curva
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