Calcule o valor médio das funções seguintes:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o valor médio da função no intervalo . Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de funções e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma função em um intervalo, que basicamente envolve encontrar a integral da função nesse intervalo e depois dividir pelo tamanho do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função no intervalo . A fórmula é:
é
Aqui, representa a área sob a curva de entre e , e é o comprimento do intervalo.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Nosso intervalo é de a , então e . A função que vamos integrar é .
Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de de a :
Para integrar, aplicamos a regra da potência para cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos os limites de integração na expressão integrada:
Para :
Para :
Agora, subtraímos os valores obtidos:

Passo 6

Com a integral calculada, voltamos à fórmula do valor médio:
é

Resposta

O valor médio da função no intervalo é 3,5.

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