Calcule o valor médio das funções seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular o valor médio da função
no intervalo
. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, mais especificamente no estudo de funções e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a média de uma função em um intervalo, que basicamente envolve encontrar a integral da função nesse intervalo e depois dividir pelo tamanho do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o valor médio de uma função
no intervalo
. A fórmula é:
Aqui,
representa a área sob a curva de
entre
e
, e
é o comprimento do intervalo.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula ao nosso caso. Nosso intervalo é de
a
, então
e
. A função que vamos integrar é
.
Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
de
a
:
Para integrar, aplicamos a regra da potência para cada termo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos os limites de integração na expressão integrada:
Para
:
Para
:
Agora, subtraímos os valores obtidos:
Passo 6
Com a integral calculada, voltamos à fórmula do valor médio:
Resposta
O valor médio da função
no intervalo
é 3,5.