A área da superfície gerada pela revolução-da curva dada por entre e em torno do eixo oy é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você trouxe aqui é sobre calcular a área da superfície gerada quando a curva é girada em torno do eixo y (que a gente também chama de eixo ). A matéria que vamos usar pra resolver isso é Cálculo, mais especificamente o estudo de superfícies de revolução. Para chegar na fórmula que você mostrou, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como calcular áreas de superfícies geradas por rotação.

Passo 2

Primeiro, imagina que a gente tem uma pequena parte da curva entre e . Quando giramos essa pequena parte em torno do eixo , ela forma uma faixa circular na superfície. O que queremos é somar todas essas faixas para encontrar a área total da superfície.

Passo 3

Para calcular a área dessa faixa, precisamos saber o comprimento da circunferência que ela forma e a altura da faixa. O comprimento da circunferência é dado por , onde é a distância do ponto ao eixo de rotação . Já a altura da faixa é o comprimento do trecho da curva, que é dado por . Esse termo vem do teorema de Pitágoras aplicado ao diferencial do comprimento da curva.

Passo 4

Multiplicando o comprimento da circunferência pela altura , obtemos a área de uma pequena faixa da superfície:
Esse é o diferencial de área.

Passo 5

Para encontrar a área total da superfície , precisamos somar todas essas faixas desde até . Isso é feito através da integral definida:

Resposta

A área da superfície gerada pela revolução da curva entre e em torno do eixo é:

Exercícios relacionados

Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , eixo e a reta ;
Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes: