A área da superfície
gerada pela revolução-da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você trouxe aqui é sobre calcular a área da superfície gerada quando a curva
é girada em torno do eixo y (que a gente também chama de eixo
). A matéria que vamos usar pra resolver isso é Cálculo, mais especificamente o estudo de superfícies de revolução. Para chegar na fórmula que você mostrou, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e como calcular áreas de superfícies geradas por rotação.
Passo 2
Primeiro, imagina que a gente tem uma pequena parte da curva entre
e
. Quando giramos essa pequena parte em torno do eixo
, ela forma uma faixa circular na superfície. O que queremos é somar todas essas faixas para encontrar a área total da superfície.
Passo 3
Para calcular a área dessa faixa, precisamos saber o comprimento da circunferência que ela forma e a altura da faixa. O comprimento da circunferência é dado por
, onde
é a distância do ponto ao eixo de rotação
. Já a altura da faixa é o comprimento do trecho da curva, que é dado por
. Esse termo vem do teorema de Pitágoras aplicado ao diferencial do comprimento da curva.
Passo 4
Multiplicando o comprimento da circunferência
pela altura
, obtemos a área de uma pequena faixa da superfície:
Esse é o diferencial de área.
Passo 5
Para encontrar a área total da superfície
, precisamos somar todas essas faixas desde
até
. Isso é feito através da integral definida:
Resposta
A área da superfície
gerada pela revolução da curva
entre
e
em torno do eixo
é:
Exercícios relacionados
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , eixo
e a reta
;
curva
Calcule as integrais abaixo:
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes: