Calcule as integrais abaixo:

Passo 1

Estamos resolvendo uma integral que envolve uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar a divisão polinomial e técnicas de integração como frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador (grau 2) é igual ao grau do denominador (grau 2). Isso significa que podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.

Passo 3

Dividimos o polinômio do numerador pelo denominador:
Então, podemos reescrever a fração assim:

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral separando os termos:

Passo 5

Calculamos a primeira integral facilmente:

Passo 6

Para a segunda integral, vamos dividir em duas partes:

Passo 7

Primeira parte:
Aqui, fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 8

Segunda parte:
Reconhecemos que . Vamos usar frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos e . Então:

Passo 9

Finalmente, juntando todas as partes:

Resposta

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