Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Estamos resolvendo uma integral que envolve uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar a divisão polinomial e técnicas de integração como frações parciais.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (grau 2) é igual ao grau do denominador (grau 2). Isso significa que podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.
Passo 3
Dividimos o polinômio do numerador pelo denominador:
Então, podemos reescrever a fração assim:
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral separando os termos:
Passo 5
Calculamos a primeira integral facilmente:
Passo 6
Para a segunda integral, vamos dividir em duas partes:
Passo 7
Primeira parte:
Aqui, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 8
Segunda parte:
Reconhecemos que
. Vamos usar frações parciais:
Resolvendo para
e
, encontramos
e
. Então:
Passo 9
Finalmente, juntando todas as partes:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , eixo
e a reta
;
curva
A área da superfície
gerada pela revolução-da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é