Calcule as integrais abaixo:
integral (3 x^2-5 x+8) d xx^2-4

Passo 1

Estamos resolvendo uma integral que envolve uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar a divisão polinomial e técnicas de integração como frações parciais.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador (grau 2) é igual ao grau do denominador (grau 2). Isso significa que podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar a expressão.

Passo 3

Dividimos o polinômio do numerador pelo denominador:
3x^2 -5x +8 = 3(x^2 -4) + (-5x +20)
Então, podemos reescrever a fração assim:
3x^2 -5x +8x^2 -4 = 3 + -5x +20x^2 -4

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral separando os termos:
integral 3x^2 -5x +8x^2 -4 dx = integral 3 , dx + integral -5x +20x^2 -4 dx

Passo 5

Calculamos a primeira integral facilmente:
integral 3 , dx = 3x + C1

Passo 6

Para a segunda integral, vamos dividir em duas partes:
integral -5x +20x^2 -4 dx = integral -5xx^2 -4 dx + integral 20x^2 -4 dx

Passo 7

Primeira parte: integral -5xx^2 -4 dx = integral -52 cdot duu = -52 ln|u| + C2 = -52 ln|x^2 -4| + C2
Aqui, fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 8

Segunda parte: 20x^2 -4 = Ax -2 + Bx +2
Reconhecemos que integral 20x^2 -4 dx = 5 ln|x -2| - 5 ln|x +2| + C3 . Vamos usar frações parciais:
Resolvendo para e , encontramos e . Então:

Passo 9

Finalmente, juntando todas as partes:
integral 3x^2 -5x +8x^2 -4 dx = 3x - 52 ln|x^2 -4| + 5 ln|x -2| -5 ln|x +2| + C

Resposta

3x - 52 ln|x^2 -4| + 5 ln|x -2| -5 ln|x +2| + C

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