Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva
, eixo
e a reta
;
curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a área que está limitada por três “fronteiras”: a curva
, o eixo
(que é onde
) e a reta vertical
. Basicamente, estamos procurando a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram. A curva
cruza o eixo
quando
. Resolvendo isso:
Então, os limites do nosso intervalo vão de
até
.
Passo 3
Agora, para encontrar a área entre essas curvas, a gente vai usar uma integral definida. A fórmula básica para calcular a área entre uma curva
e o eixo
de
até
é:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 4
Vamos então escrever a integral para a área:
Agora, precisamos calcular essa integral.
Passo 5
Para integrar
, usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral definida de
a
:
Substituindo os limites:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A área da figura limitada pelas curvas dadas é 1.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais abaixo:
A área da superfície
gerada pela revolução-da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;