Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , eixo e a reta ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a área que está limitada por três “fronteiras”: a curva , o eixo (que é onde ) e a reta vertical . Basicamente, estamos procurando a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram. A curva cruza o eixo quando . Resolvendo isso:
Então, os limites do nosso intervalo vão de até .

Passo 3

Agora, para encontrar a área entre essas curvas, a gente vai usar uma integral definida. A fórmula básica para calcular a área entre uma curva e o eixo de até é:
Á
No nosso caso, , e .

Passo 4

Vamos então escrever a integral para a área:
Á
Agora, precisamos calcular essa integral.

Passo 5

Para integrar , usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de a :
Á
Substituindo os limites:
Á
Sabemos que e , então:
Á

Resposta

A área da figura limitada pelas curvas dadas é 1.

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Calcule as integrais abaixo:
A área da superfície gerada pela revolução-da curva dada por entre e em torno do eixo oy é
Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;