Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral arctan x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral de arctan x , dx usando a técnica de integração por partes. A matéria envolvida aqui é o cálculo integral, mais especificamente a integração por partes, que é útil para integrar produtos de funções. Para resolver esse exercício, precisamos identificar qual parte da integral será u e qual será dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é dada por:
integral u,dv = uv - integral v,du
Vamos escolher u = arctan x e dv = dx. Com essa escolha, precisamos determinar du e v.

Passo 3

Primeiro, calculamos du:
Sabemos que a derivada de arctan x é:
ddx (arctan x) = 11 + x^2
Portanto:
du = 11 + x^2 , dx
Em seguida, calculamos v:
Como dv = dx, integramos ambos os lados:
v = integral dx = x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral arctan x , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores de u, v e du que encontramos:
integral arctan x , dx = arctan x cdot x - integral x cdot 11 + x^2 , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral restante:
integral x1 + x^2 , dx
Podemos fazer uma substituição para simplificar. Seja w = 1 + x^2, então:
dw = 2x , dx Rightarrow dw2 = x , dx
Substituindo na integral:
integral x1 + x^2 , dx = 12 integral dww = 12 ln |w| + C = 12 ln (1 + x^2) + C

Passo 6

Voltando à expressão original:
integral arctan x , dx = x arctan x - 12 ln (1 + x^2) + C

Resposta

integral arctan x , dx = x arctan x - 12 ln (1 + x^2) + C

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