Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
integral x^2 d xraiz1-x^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como fazer substituições trigonométricas para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas sob raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que combina com uma identidade trigonométrica. Aqui, temos x = sintheta , que se assemelha à identidade dx = costheta dtheta . Para usar substituição trigonométrica, podemos definir:
raiz1 - x^2 = raiz1 - sin^2theta = costheta
Isso implica que:
Também, substituindo na expressão da raiz:

Passo 3

Agora, vamos substituir todas as partes da integral:
integral x^2 dxraiz1 - x^2 = integral sin^2theta cdot costheta dthetacostheta = integral sin^2theta dtheta
A expressão no numerador e denominador se cancelam.

Passo 4

Precisamos agora integrar sin^2theta = 1 - cos(2theta)2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica de potência:
integral sin^2theta dtheta = integral 1 - cos(2theta)2 dtheta = 12 integral (1 - cos(2theta)) dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
12 integral 1 dtheta - 12 integral cos(2theta) dtheta = 12 theta - 14 sin(2theta) + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original theta = arcsin(x) . Lembrando que sin(2theta) = 2xraiz1 - x^2 , então:
E também, usando a identidade :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão integrada:
12 theta - 14 sin(2theta) + C = 12 arcsin(x) - 14 cdot 2xraiz1 - x^2 + C
Simplificando:
12 arcsin(x) - 12 xraiz1 - x^2 + C

Resposta

A integral 12 arcsin(x) - 12 xraiz1 - x^2 + C é igual a:

Exercícios relacionados