Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como fazer substituições trigonométricas para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas sob raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da integral que combina com uma identidade trigonométrica. Aqui, temos , que se assemelha à identidade . Para usar substituição trigonométrica, podemos definir:
Isso implica que:
Também, substituindo na expressão da raiz:

Passo 3

Agora, vamos substituir todas as partes da integral:
A expressão no numerador e denominador se cancelam.

Passo 4

Precisamos agora integrar . Para isso, usamos a identidade trigonométrica de potência:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , então:
E também, usando a identidade :

Passo 7

Substituindo de volta na expressão integrada:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
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