Calcule as integrais abaixo usando substituição trigonométrica:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos precisar entender como fazer substituições trigonométricas para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas sob raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que combina com uma identidade trigonométrica. Aqui, temos
, que se assemelha à identidade
. Para usar substituição trigonométrica, podemos definir:
Isso implica que:
Também, substituindo na expressão da raiz:
Passo 3
Agora, vamos substituir todas as partes da integral:
A expressão
no numerador e denominador se cancelam.
Passo 4
Precisamos agora integrar
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica de potência:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, então:
E também, usando a identidade
:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão integrada:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
A área da superfície
gerada pela revolução-da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
Calcule a área da figura limitada pelas curvas dadas:
curva , eixo
e a reta
;
curva
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes: