Determine o ângulo theta entre v e w, se:
b) v=(5,1,-2) e w=(4,-4,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de vetores onde queremos achar o ângulo theta entre os vetores v = (5, 1, -2) e w = (4, -4, 3). Para isso, a gente vai usar a fórmula do produto escalar que relaciona vetores e ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto escalar entre dois vetores. A fórmula é:
v cdot w = vx cdot wx + vy cdot wy + vz cdot wz
Nesse caso, os componentes dos vetores v e w são dadas, então vamos calcular isso.

Passo 3

Vamos calcular cada parte:
vx cdot wx = 5 cdot 4 = 20
vy cdot wy = 1 cdot (-4) = -4
vz cdot wz = (-2) cdot 3 = -6
Agora, somando tudo:
v cdot w = 20 + (-4) + (-6) = 10

Passo 4

Agora, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor. A fórmula para o módulo de um vetor v = (vx, vy, vz) é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Vamos calcular para v e para w.

Passo 5

Calculando o módulo de v:
|v| = raiz5^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz25 + 1 + 4 = raiz30
E para w:
|w| = raiz4^2 + (-4)^2 + 3^2 = raiz16 + 16 + 9 = raiz41

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores:
v cdot w = |v| cdot |w| cdot cos(theta)
Queremos encontrar theta, então isolamos:
cos(theta) = v cdot w|v| cdot |w|
Substituindo os valores que já calculamos:
cos(theta) = 10raiz30 cdot raiz41

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor numérico:
Primeiro, multiplicamos os módulos:
raiz30 cdot raiz41 = raiz30 cdot 41 = raiz1230 approx 35.07
Então:
cos(theta) = 1035.07 approx 0.285

Passo 8

Para achar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(0.285) approx 73.7^circ

Resposta

O ângulo theta entre os vetores v e w é aproximadamente 73,7^circ.

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