A areia é derramada num monte cônico na velocidade de
por minuto. Num dado instante, o monte tem 6 m de diâmetro e 5 m de altura. Qual a taxa de aumento da altura nesse instante, se o diâmetro aumenta na velocidade de 2 cm por minuto?
Passo 1
Então, galera! Vamos resolver um problema de taxas relacionadas. O enunciado fala sobre um monte cônico de areia que está crescendo. Sabemos a velocidade com que a areia é adicionada ao monte (
por minuto) e que, num certo momento, o diâmetro do monte é de 6 metros e a altura é de 5 metros. Além disso, nos dizem que o diâmetro está aumentando a uma taxa de 2 cm por minuto. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura do monte está aumentando nesse instante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio, -
é a altura.
Como o diâmetro
é 6 metros, o raio
é metade disso:
Passo 3
Precisamos relacionar as taxas de variação. Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo
:
Mas como sabemos que o diâmetro está aumentando, vamos converter
para o raio:
Passo 4
Substituindo os valores conhecidos na derivada:
Então:
Simplificando:
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
Agora, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Isolando
:
Resposta
A taxa de aumento da altura nesse instante é:
Aproximadamente, isso dá:
Exercícios relacionados
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Seja f uma função diferenciável qualquer e considere
. Mostre que
satisfaz a equação diferencial parcial
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Use a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de: