A areia é derramada num monte cônico na velocidade de por minuto. Num dado instante, o monte tem 6 m de diâmetro e 5 m de altura. Qual a taxa de aumento da altura nesse instante, se o diâmetro aumenta na velocidade de 2 cm por minuto?

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver um problema de taxas relacionadas. O enunciado fala sobre um monte cônico de areia que está crescendo. Sabemos a velocidade com que a areia é adicionada ao monte ( por minuto) e que, num certo momento, o diâmetro do monte é de 6 metros e a altura é de 5 metros. Além disso, nos dizem que o diâmetro está aumentando a uma taxa de 2 cm por minuto. Nosso objetivo é descobrir quão rápido a altura do monte está aumentando nesse instante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cone:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio,
  • é a altura.
Como o diâmetro é 6 metros, o raio é metade disso:

Passo 3

Precisamos relacionar as taxas de variação. Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo :
Mas como sabemos que o diâmetro está aumentando, vamos converter para o raio:

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na derivada:
Então:
Simplificando:

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
Agora, dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Isolando :

Resposta

A taxa de aumento da altura nesse instante é:
Aproximadamente, isso dá:

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