Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações lineares homogêneas de diferença e equações características. Precisaremos encontrar a solução geral da equação usando essas ferramentas.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica dessa equação de diferença. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso, a equação é
, então
e
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica
. Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada ou resolvida usando a fórmula de Bhaskara. Vendo que
, temos:
Ou seja, a raiz
se repete duas vezes.
Passo 4
Quando temos raízes repetidas na equação característica, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Aqui,
, então a solução fica:
Agora, precisamos encontrar os valores das constantes
e
usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Então,
.
Para
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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