Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de segunda ordem: , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações lineares homogêneas de diferença e equações características. Precisaremos encontrar a solução geral da equação usando essas ferramentas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica dessa equação de diferença. Para uma equação do tipo , a equação característica é . No nosso caso, a equação é , então e . Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica . Essa é uma equação quadrática que pode ser fatorada ou resolvida usando a fórmula de Bhaskara. Vendo que , temos:
Ou seja, a raiz se repete duas vezes.

Passo 4

Quando temos raízes repetidas na equação característica, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Aqui, , então a solução fica:
Agora, precisamos encontrar os valores das constantes e usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Para :
Então, .
Para :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação de diferença é:

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