Seja f uma função diferenciável qualquer e considere w=x^3 cdot f(yx, xz, zx). Mostre que w satisfaz a equação diferencial parcial x cdot partial wpartial x+y cdot partial wpartial y+z cdot partial wpartial z=3 w

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função x cdot partial wpartial x + y cdot partial wpartial y + z cdot partial wpartial z = 3w e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial parcial:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia. A ideia é calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e então substituir na equação dada para verificar se ela se iguala a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = 3x^2 cdot f(yx, xz, zx) + x^3 cdot ( partial fpartial u cdot partial upartial x + partial fpartial v cdot partial vpartial x + partial fpartial w cdot partial wpartial x ) em relação a partial upartial x = -yx^2, partial vpartial x = 1z, partial wpartial x = -zx^2 , ou seja, partial wpartial x = 3x^2 f(u, v, w) + x^3 ( partial fpartial u (-yx^2) + partial fpartial v (1z) + partial fpartial w (-zx^2) ) .
Temos que .
Aplicando a derivada em relação a , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui, , e .
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de w = x^3 cdot f(yx, xz, zx) em relação a partial wpartial y = x^3 cdot partial fpartial u cdot partial upartial y = x^3 cdot partial fpartial u cdot (1x) = x^2 cdot partial fpartial u , ou seja, .
Novamente, usando a definição de :
A única parte que depende de é . Então, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular agora a derivada parcial de w = x^3 cdot f(yx, xz, zx) em relação a partial wpartial z = x^3 cdot ( partial fpartial v cdot partial vpartial z + partial fpartial w cdot partial wpartial z ) = x^3 cdot ( partial fpartial v cdot (-xz^2) + partial fpartial w cdot (1x) ) , ou seja, partial wpartial z = -x^4 cdot partial fpartial v cdot 1z^2 + x^2 cdot partial fpartial w .
Usando a definição de :
As partes que dependem de são e . Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituir na equação dada:
x cdot partial wpartial x + y cdot partial wpartial y + z cdot partial wpartial z
Substituindo as derivadas que calculamos:
x cdot ( 3x^2 f + x^3 ( -yx^2 partial fpartial u + 1z partial fpartial v - zx^2 partial fpartial w ) ) + y cdot ( x^2 partial fpartial u ) + z cdot ( -x^4 partial fpartial v 1z^2 + x^2 partial fpartial w )
Simplificando cada termo:
= 3x^3 f + x^4 ( -yx^2 partial fpartial u + 1z partial fpartial v - zx^2 partial fpartial w ) + yx^2 partial fpartial u + z ( -x^4z^2 partial fpartial v + x^2 partial fpartial w )
Distribuindo os termos:
= 3x^3 f - yx^2 partial fpartial u + x^4z partial fpartial v - x^4 zx^2 partial fpartial w + yx^2 partial fpartial u - x^4z partial fpartial v + x^2 z partial fpartial w
Observamos que alguns termos se cancelam:
- yx^2 partial fpartial u + yx^2 partial fpartial u = 0
x^4z partial fpartial v - x^4z partial fpartial v = 0
- x^4 zx^2 partial fpartial w + x^2 z partial fpartial w = 0
Então, resta apenas:
3x^3 f

Resposta

Portanto,
x cdot partial wpartial x + y cdot partial wpartial y + z cdot partial wpartial z = 3w

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