Seja f uma função diferenciável qualquer e considere
. Mostre que
satisfaz a equação diferencial parcial
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função
e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial parcial:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia. A ideia é calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e então substituir na equação dada para verificar se ela se iguala a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Temos que
.
Aplicando a derivada em relação a
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui,
,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usando a definição de
:
A única parte que depende de
é
. Então, aplicamos a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos calcular agora a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Usando a definição de
:
As partes que dependem de
são
e
. Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituir na equação dada:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando cada termo:
Distribuindo os termos:
Observamos que alguns termos se cancelam:
Então, resta apenas:
Resposta
Portanto,
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Seja
, com
. Prove que
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