Seja f uma função diferenciável qualquer e considere . Mostre que satisfaz a equação diferencial parcial

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma função e pede para mostrar que ela satisfaz a equação diferencial parcial:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia. A ideia é calcular as derivadas parciais de em relação a , e , e então substituir na equação dada para verificar se ela se iguala a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Temos que .
Aplicando a derivada em relação a , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
Aqui, , e .
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usando a definição de :
A única parte que depende de é . Então, aplicamos a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular agora a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Usando a definição de :
As partes que dependem de são e . Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos substituir na equação dada:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Simplificando cada termo:
Distribuindo os termos:
Observamos que alguns termos se cancelam:
Então, resta apenas:

Resposta

Portanto,

Exercícios relacionados

Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Seja , com . Prove que
Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
A areia é derramada num monte cônico na velocidade de por minuto. Num dado instante, o monte tem 6 m de diâmetro e 5 m de altura. Qual a taxa de aumento da altura nesse instante, se o diâmetro aumenta na velocidade de 2 cm por minuto?