Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem. O enunciado nos dá a equação
e as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações de recorrência lineares homogêneas e usar técnicas de equações características.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso,
e
, então a equação é:
Passo 3
Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Substituímos
na equação de recorrência:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo
):
Passo 4
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver para
usando a fórmula quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 5
A solução geral da equação de recorrência é uma combinação linear das potências das raízes:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Para
:
Para
:
Passo 7
Temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Passo 8
Sabemos que
e substituindo os valores:
Simplificando:
Então, de
:
Resposta
A solu��ão da equação de diferença é: