Determine a solução das equações de diferença lineares homogênea de ordem 2 satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem. O enunciado nos dá a equação e as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações de recorrência lineares homogêneas e usar técnicas de equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, e , então a equação é:

Passo 3

Para resolver essa equação, usamos a equação característica. Substituímos na equação de recorrência:
Dividindo ambos os lados por (assumindo ):

Passo 4

Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos resolver para usando a fórmula quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 5

A solução geral da equação de recorrência é uma combinação linear das potências das raízes:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Para :
(1)
Para :
(2)

Passo 7

Temos o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (1):
Substituindo na equação (2):

Passo 8

Sabemos que e substituindo os valores:
Simplificando:
Então, de :

Resposta

A solu��ão da equação de diferença é:

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