Use a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função . A matéria envolvida é cálculo, especificamente a regra da cadeia (ou regra de derivação composta), que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como a regra da cadeia funciona para calcular as derivadas parciais em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que:
Podemos reescrever a raiz quadrada como potência de :
Aplicando a propriedade dos logaritmos , temos:
Agora, vamos chamar o que está dentro do logaritmo de :
Então, nossa função fica:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Usaremos a regra da cadeia, que nos diz que:
Primeiro, encontramos :
Agora, vamos encontrar :
Derivando em relação a :
Simplificando:
Então, aplicando a regra da cadeia:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é . Novamente, usamos a regra da cadeia:
Já sabemos que . Agora, vamos encontrar :
Derivando em relação a :
Simplificando:
Aplicando a regra da cadeia:
Dividindo tudo por 2:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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