Use a regra da cadeia, encontre as derivadas parciais de:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para encontrar as derivadas parciais da função
. A matéria envolvida é cálculo, especificamente a regra da cadeia (ou regra de derivação composta), que nos ajuda a derivar funções compostas. Vamos precisar lembrar como a regra da cadeia funciona para calcular as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
para facilitar a derivação. Sabemos que:
Podemos reescrever a raiz quadrada como potência de
:
Aplicando a propriedade dos logaritmos
, temos:
Agora, vamos chamar o que está dentro do logaritmo de
:
Então, nossa função fica:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Usaremos a regra da cadeia, que nos diz que:
Primeiro, encontramos
:
Agora, vamos encontrar
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Então, aplicando a regra da cadeia:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Já sabemos que
. Agora, vamos encontrar
:
Derivando em relação a
:
Simplificando:
Aplicando a regra da cadeia:
Dividindo tudo por 2:
Resposta
As derivadas parciais da função
são:
e
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Sejam
. Calcule
,
e
.