A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15 cm/min, determine a taxa à qual a areia está escoando a altura da pilha é 25 cm

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma pilha de areia em formato de cone, onde a altura da pilha é sempre igual ao raio da base. A altura da pilha está aumentando a uma taxa de . Queremos descobrir a que taxa o volume de areia está aumentando quando a altura da pilha é . Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume de um cone e calcular derivadas relacionadas a taxas de variação.

Passo 2

Sabemos que o volume de um cone é dado pela fórmula:
No nosso caso, a altura da pilha é sempre igual ao raio , ou seja, . Podemos substituir por na fórmula:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo, . Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na derivada, temos:
Simplificando os termos:

Passo 5

Sabemos que e queremos encontrar quando . Substituindo esses valores na equação:

Passo 6

Calculando os valores:

Resposta

A taxa à qual a areia está escoando quando a altura da pilha é é .

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