A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio. Se a altura da pilha aumenta à razão de
, determine a taxa à qual a areia está escoando a altura da pilha é 25 cm
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma pilha de areia em formato de cone, onde a altura da pilha é sempre igual ao raio da base. A altura da pilha está aumentando a uma taxa de
. Queremos descobrir a que taxa o volume de areia está aumentando quando a altura da pilha é
. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume de um cone e calcular derivadas relacionadas a taxas de variação.
Passo 2
Sabemos que o volume
de um cone é dado pela fórmula:
No nosso caso, a altura
da pilha é sempre igual ao raio
, ou seja,
. Podemos substituir
por
na fórmula:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a taxa de variação do volume em relação ao tempo,
. Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia na derivada, temos:
Simplificando os termos:
Passo 5
Sabemos que
e queremos encontrar
quando
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 6
Calculando os valores:
Resposta
A taxa à qual a areia está escoando quando a altura da pilha é
é
.