Resolva as inequações no domínio dos números reais e expresse suas soluções em notação de intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação
| (3 - 2 x) / (1 + x) | <= 4 . Esse exercício está no conteúdo de Inequações Absolutas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com valores absolutos e quebrar a inequação em duas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que uma desigualdade do tipo
, onde
B é positivo, significa que
A está entre
e
B . Ou seja:
Passo 3
Agora, temos que resolver as duas desigualdades separadamente:
Mas antes disso, precisamos garantir que o denominador
não seja zero, ou seja,
. Portanto,
.
Passo 4
Vamos resolver a primeira parte:
Multiplicamos ambos os lados por
. Porém, precisamos considerar o sinal de
:
- Se
(ou seja, ), a desigualdade mantém o sentido. - Se
(ou seja, ), o sentido da desigualdade inverte.
Caso 1:
Adicionando
y = sen(x^2) em ambos os lados:
Subtraindo 3:
Dividindo por 2:
Caso 2:
y = sen(x^2)
Adicionando
y = sen(x^2) em ambos os lados:
Subtraindo 3:
Dividindo por 2:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte:
Novamente, consideramos o sinal de
:
Caso 1:
Subtraindo
y = sen(x^2) e 3 de ambos os lados:
Dividindo por -6 (e invertendo a desigualdade):
Caso 2:
y = sen(x^2)
Subtraindo
y = sen(x^2) e 3 de ambos os lados:
Dividindo por -6 (e invertendo a desigualdade):
Passo 6
Agora, vamos juntar os resultados das duas partes.
Para a primeira parte:
- Se
, então - Se
, então
Para a segunda parte:
- Se
, então - Se
, então
Agora, combinamos essas soluções levando em conta que
.
Passo 7
Analizando as soluções:
- Para
, temos - Para
, temos
Portanto, as soluções são:
Resposta
A solução da inequação é
.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.294ex” height=“1.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -442 572 453”><title>x</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> nas expressões a seguir supondo que <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.439ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.159ex” height=“2.009ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -694 2280.3 888”><title>a, b, c</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D44E” d=“M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(529,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(973.7,0)”><path data-c=“1D44F” d=“M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1402.7,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1847.3,0)”><path data-c=“1D450” d=“M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> sejam constantes. <span class="math-inline ">
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</body></html>
Deve-se construir um canteiro com a forma de setor circular. Qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior possível? Sabendo que dispomos de 360m de fio para cercá-lo com três voltas? Qual é essa área máxima?