Resolva as inequações no domínio dos números reais e expresse suas soluções em notação de intervalo. | (3 - 2 x) / (1 + x) | <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação | (3 - 2 x) / (1 + x) | <= 4. Esse exercício está no conteúdo de Inequações Absolutas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com valores absolutos e quebrar a inequação em duas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que uma desigualdade do tipo , onde B é positivo, significa que A está entre e B. Ou seja:

Passo 3

Agora, temos que resolver as duas desigualdades separadamente:
Mas antes disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja, . Portanto, .

Passo 4

Vamos resolver a primeira parte:
Multiplicamos ambos os lados por . Porém, precisamos considerar o sinal de :
  • Se (ou seja, ), a desigualdade mantém o sentido.
  • Se (ou seja, ), o sentido da desigualdade inverte.
Caso 1:
Adicionando em ambos os lados:
Subtraindo 3:
Dividindo por 2:
Caso 2:
Adicionando em ambos os lados:
Subtraindo 3:
Dividindo por 2:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte:
Novamente, consideramos o sinal de :
Caso 1:
Subtraindo e 3 de ambos os lados:
Dividindo por -6 (e invertendo a desigualdade):
Caso 2:
Subtraindo e 3 de ambos os lados:
Dividindo por -6 (e invertendo a desigualdade):

Passo 6

Agora, vamos juntar os resultados das duas partes.
Para a primeira parte:
  • Se , então
  • Se , então
Para a segunda parte:
  • Se , então
  • Se , então
Agora, combinamos essas soluções levando em conta que .

Passo 7

Analizando as soluções:
  • Para , temos
  • Para , temos
Portanto, as soluções são:

Resposta

A solução da inequação é .

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