A aresta de um cubo tem 30 cm , com um possível erro de medida de 0,1 cm. Use diferenciais para estimar o erro máximo possível no cálculo (a) do volume do cubo e (b) da área da superfície do cubo. Quais são os erros percentuais? Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um cubo onde cada aresta mede 30 cm, mas essa medida pode ter um errinho de até 0,1 cm. O que precisamos fazer é usar os diferenciais para descobrir qual é o erro máximo que pode ocorrer quando a gente calcula (a) o volume do cubo e (b) a área da superfície desse cubo. Além disso, vamos calcular qual é o erro percentual dessas estimativas. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo diferencial, especialmente como pequenas variações em uma medida podem afetar outras grandezas derivadas dela.

Passo 2

Vamos começar calculando o erro no volume do cubo. A fórmula do volume de um cubo é:
Onde é o comprimento da aresta. Para encontrar o erro máximo no volume ( ), usamos a derivada de em relação a :
Aqui, é o erro na medida da aresta, que é 0,1 cm. Substituindo os valores:
Então, o erro máximo no volume é de 270 cm³.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro na área da superfície do cubo. A fórmula da área da superfície de um cubo é:
Para encontrar o erro máximo na área ( ), usamos a derivada de em relação a :
Substituindo os valores:
Então, o erro máximo na área da superfície é de 36 cm².

Passo 4

Agora, vamos calcular os erros percentuais para cada caso.
Para o volume:
Para a área da superfície:
á

Resposta

O erro máximo possível no cálculo do volume do cubo é de 270 cm³ com um erro percentual de 1%. Já o erro máximo na área da superfície é de 36 cm² com um erro percentual de 0,67%.

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