Resolva as seguintes integrais:
j) integral5^+infty 1x raiz[3](ln x)^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que vai de 5 até o infinito: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que integral5^+infty 1x (ln x)^4/3 , dx é o mesmo que . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar dudx = 1x Rightarrow du = 1x dx . Assim, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever a integral em termos de integral 1x (ln x)^4/3 , dx = integral 1u^4/3 , du . Substituindo e , nossa integral fica:
E os limites de integração também mudam. Quando , , e quando tende ao infinito, tende ao infinito.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral u^-4/3 , du = u^-4/3 + 1-4/3 + 1 + C = u^-1/3-1/3 + C = -3 u^-1/3 + C . Podemos reescrever como . A integral de é , desde que .
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração. Temos:
[ -3 u^-1/3 ]ln 5^+infty = limb to +infty ( -3 b^-1/3 ) - ( -3 (ln 5)^-1/3 )
Quando 0 - ( -3 (ln 5)^-1/3 ) = 3 (ln 5)^-1/3 tende ao infinito, tende a 0. Então, a expressão fica:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

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