Resolva as seguintes integrais:
j)
j)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que vai de 5 até o infinito:
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição em integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que
é o mesmo que
. Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar
. Assim, precisamos encontrar
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Com essa substituição, podemos reescrever a integral em termos de
. Substituindo
e
, nossa integral fica:
E os limites de integração também mudam. Quando
,
, e quando
tende ao infinito,
tende ao infinito.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Podemos reescrever
como
. A integral de
é
, desde que
.
Então,
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração. Temos:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0. Então, a expressão fica:
Resposta
A integral converge e seu valor é
.