Resolva as seguintes integrais:
j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que vai de 5 até o infinito: . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias porque o limite superior é infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituição em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que é o mesmo que . Então, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar . Assim, precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever a integral em termos de . Substituindo e , nossa integral fica:
E os limites de integração também mudam. Quando , , e quando tende ao infinito, tende ao infinito.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral . Podemos reescrever como . A integral de é , desde que .
Então,

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração. Temos:
Quando tende ao infinito, tende a 0. Então, a expressão fica:

Resposta

A integral converge e seu valor é .

Exercícios relacionados

Mostre que as seguintes séries são divergentes:
;
Resolva as seguintes integrais:
t)
A aresta de um cubo tem 30 cm , com um possível erro de medida de . Use diferenciais para estimar o erro máximo possível no cálculo (a) do volume do cubo e (b) da área da superfície do cubo. Quais são os erros percentuais? Justifique sua resposta.