Um objeto de dimensão desprezível é lançado verticalmente para baixo a uma altura h do solo. Considere que exista apenas duas forças externas atuando no objeto. A força gravitacional ( Fg=m g ) e a força de arrasto ( FD=-alpha v ), onde m, g, alpha, v são respectivamente, a massa, a aceleração da gravidade, o coeficiente de arrasto e a velocidade do objeto. Sabendo que a segunda lei de Newton é sum F=m d vd t, reescreva a equação diferencial como linear de primeira ordem e resolva o PVI para v(0)=v0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um objeto que é lançado verticalmente para baixo a partir de uma altura em relação ao solo. As únicas forças que atuam nele são a força gravitacional ( ) e a força de arrasto ( ), onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o coeficiente de arrasto,
  • é a velocidade do objeto.
Queremos usar a segunda lei de Newton, que nos diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração ( ), para reescrever a equação diferencial como uma equação linear de primeira ordem e, em seguida, resolver o problema de valor inicial para .

Passo 2

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton. A soma das forças que atuam no objeto é a força gravitacional menos a força de arrasto:
sum F = Fg + FD = m g - alpha v
De acordo com a segunda lei de Newton:
sum F = m dvdt
Portanto, podemos igualar as duas expressões:
m dvdt = m g - alpha v

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para isolarmos dvdt = g - alpham v :
dvdt + P(t) v = Q(t)
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, pois pode ser escrita na forma:
onde e são funções de .

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos utilizar o método do fator integrante. O primeiro passo é encontrar o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral alpham dt = e^alpham t , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante e^alpham t dvdt + e^alpham t cdot alpham v = e^alpham t g :
ddt ( e^alpham t v ) = e^alpham t g
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a integral ddt ( e^alpham t v ) dt = integral e^alpham t g , dt :
e^alpham t v = g malpha e^alpham t + C
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para v(t) = g malpha + C e^-alpham t :
v0 = g malpha + C e^0 Rightarrow C = v0 - g malpha
Para determinar a constante v(t) = g malpha + ( v0 - g malpha ) e^-alpham t , usamos a condição inicial :
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A solução da velocidade em função do tempo é:
v(t) = g malpha + ( v0 - g malpha ) e^-alpham t

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