Um objeto de dimensão desprezível é lançado verticalmente para baixo a uma altura h do solo. Considere que exista apenas duas forças externas atuando no objeto. A força gravitacional (
) e a força de arrasto (
), onde
são respectivamente, a massa, a aceleração da gravidade, o coeficiente de arrasto e a velocidade do objeto. Sabendo que a segunda lei de Newton é
, reescreva a equação diferencial como linear de primeira ordem e resolva o PVI para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um objeto que é lançado verticalmente para baixo a partir de uma altura
em relação ao solo. As únicas forças que atuam nele são a força gravitacional (
) e a força de arrasto (
), onde:
-
é a massa do objeto, -
é a aceleração da gravidade, -
é o coeficiente de arrasto, -
é a velocidade do objeto.
Queremos usar a segunda lei de Newton, que nos diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração (
), para reescrever a equação diferencial como uma equação linear de primeira ordem e, em seguida, resolver o problema de valor inicial para
.
Passo 2
Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton. A soma das forças que atuam no objeto é a força gravitacional menos a força de arrasto:
De acordo com a segunda lei de Newton:
Portanto, podemos igualar as duas expressões:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para isolarmos
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, pois pode ser escrita na forma:
onde
e
são funções de
.
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos utilizar o método do fator integrante. O primeiro passo é encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em uma forma que podemos integrar facilmente.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Para determinar a constante
, usamos a condição inicial
:
Substituindo
de volta na expressão para
:
Resposta
A solução da velocidade em função do tempo é:
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. Justifique sua resposta. Por que essa aproximação funciona?
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Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)
c)