Um objeto de dimensão desprezível é lançado verticalmente para baixo a uma altura h do solo. Considere que exista apenas duas forças externas atuando no objeto. A força gravitacional ( ) e a força de arrasto ( ), onde são respectivamente, a massa, a aceleração da gravidade, o coeficiente de arrasto e a velocidade do objeto. Sabendo que a segunda lei de Newton é , reescreva a equação diferencial como linear de primeira ordem e resolva o PVI para .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um objeto que é lançado verticalmente para baixo a partir de uma altura em relação ao solo. As únicas forças que atuam nele são a força gravitacional ( ) e a força de arrasto ( ), onde:
  • é a massa do objeto,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o coeficiente de arrasto,
  • é a velocidade do objeto.
Queremos usar a segunda lei de Newton, que nos diz que a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração ( ), para reescrever a equação diferencial como uma equação linear de primeira ordem e, em seguida, resolver o problema de valor inicial para .

Passo 2

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton. A soma das forças que atuam no objeto é a força gravitacional menos a força de arrasto:
De acordo com a segunda lei de Newton:
Portanto, podemos igualar as duas expressões:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para isolarmos :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, pois pode ser escrita na forma:
onde e são funções de .

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos utilizar o método do fator integrante. O primeiro passo é encontrar o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a transformar a equação diferencial em uma forma que podemos integrar facilmente.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Para determinar a constante , usamos a condição inicial :
Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A solução da velocidade em função do tempo é:

Exercícios relacionados

Estime o valor de . Justifique sua resposta. Por que essa aproximação funciona?
A aresta de um cubo tem 30 cm , com um possível erro de medida de . Use diferenciais para estimar o erro máximo possível no cálculo (a) do volume do cubo e (b) da área da superfície do cubo. Quais são os erros percentuais? Justifique sua resposta.
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem:
Verifique a convergência das seguintes integrais:
c)