Estime o valor de
. Justifique sua resposta. Por que essa aproximação funciona?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estimar o valor de
. Isso está relacionado ao estudo do logaritmo natural, que é uma função matemática importante na matemática e na física. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a aproximação de logaritmos e usar uma fórmula que nos ajuda a estimar o valor quando estamos lidando com números próximos de 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural de 1 é zero, ou seja,
. Isso porque qualquer número elevado a 0 dá 1. Agora, como 0,98 está bem perto de 1, podemos usar uma aproximação para facilitar o cálculo. A ideia é que, para valores próximos de 1, podemos usar a seguinte fórmula de aproximação:
Aqui,
é a pequena diferença entre o número que estamos calculando o logaritmo e 1.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Podemos reescrever 0,98 como
, ou seja,
. Assim,
. Vamos substituir isso na fórmula de aproximação:
Passo 4
Agora, vamos calcular os termos:
Primeiro,
já está pronto. Depois, calculamos
. Então, dividimos isso por 2:
Então, substituindo de volta:
Resposta
Portanto, podemos estimar que
. Essa aproximação funciona porque 0,98 está muito próximo de 1, e a fórmula utilizada é válida para valores de
pequenos, permitindo uma estimativa rápida e bastante precisa.