Estime o valor de . Justifique sua resposta. Por que essa aproximação funciona?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estimar o valor de . Isso está relacionado ao estudo do logaritmo natural, que é uma função matemática importante na matemática e na física. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a aproximação de logaritmos e usar uma fórmula que nos ajuda a estimar o valor quando estamos lidando com números próximos de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural de 1 é zero, ou seja, . Isso porque qualquer número elevado a 0 dá 1. Agora, como 0,98 está bem perto de 1, podemos usar uma aproximação para facilitar o cálculo. A ideia é que, para valores próximos de 1, podemos usar a seguinte fórmula de aproximação: Aqui, é a pequena diferença entre o número que estamos calculando o logaritmo e 1.

Passo 3

No nosso caso, temos . Podemos reescrever 0,98 como , ou seja, . Assim, . Vamos substituir isso na fórmula de aproximação:

Passo 4

Agora, vamos calcular os termos: Primeiro, já está pronto. Depois, calculamos . Então, dividimos isso por 2: Então, substituindo de volta:

Resposta

Portanto, podemos estimar que . Essa aproximação funciona porque 0,98 está muito próximo de 1, e a fórmula utilizada é válida para valores de pequenos, permitindo uma estimativa rápida e bastante precisa.

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Resolva as seguintes integrais: t)
Um objeto de dimensão desprezível é lançado verticalmente para baixo a uma altura h do solo. Considere que exista apenas duas forças externas atuando no objeto. A força gravitacional ( ) e a força de arrasto ( ), onde são respectivamente, a massa, a aceleração da gravidade, o coeficiente de arrasto e a velocidade do objeto. Sabendo que a segunda lei de Newton é , reescreva a equação diferencial como linear de primeira ordem e resolva o PVI para .
Resolva as seguintes equações diferenciais de primeira ordem: