Argumente porque a seguinte função obedece a equação da onda e encontre a sua velocidade (módulo e sentido) (no S.I.):
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
satisfaz a equação da onda e, além disso, encontrar a velocidade dessa onda no Sistema Internacional (SI). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação da onda, como as funções que a obedecem se comportam, e usar algumas identidades trigonométricas pra simplificar a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. No caso de uma dimensão, ela é dada por:
onde
é a velocidade da onda. Nosso objetivo é verificar se a função dada satisfaz essa equação e, se sim, encontrar o valor de
.
Passo 3
Vamos começar expandindo a função
. Podemos usar a identidade trigonométrica do produto de cossenos:
Aplicando isso, temos:
Simplificando os argumentos:
Então:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
.
Primeiro, a segunda derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos verificar se
.
Substituindo as derivadas:
Cancelando
dos dois lados:
Para que essa igualdade seja válida para todo
e
, os coeficientes dos termos de cosseno devem ser iguais:
Passo 6
Vamos resolver uma das equações para encontrar
. Usando a primeira:
Então:
Resposta
A função dada satisfaz a equação da onda e a sua velocidade é
na direção positiva.