Argumente porque a seguinte função obedece a equação da onda e encontre a sua velocidade (módulo e sentido) (no S.I.):
y(x, t)=cos (0,3 x+15 t) cos (0,9 x+45 t+pi / 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação da onda e, além disso, encontrar a velocidade dessa onda no Sistema Internacional (SI). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação da onda, como as funções que a obedecem se comportam, e usar algumas identidades trigonométricas pra simplificar a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. No caso de uma dimensão, ela é dada por:
partial^2 ypartial x^2 = 1v^2 partial^2 ypartial t^2
onde é a velocidade da onda. Nosso objetivo é verificar se a função dada satisfaz essa equação e, se sim, encontrar o valor de .

Passo 3

Vamos começar expandindo a função cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)] . Podemos usar a identidade trigonométrica do produto de cossenos:
y(x, t) = 12 [ cos( (0,3x + 15t) + (0,9x + 45t + pi3) ) + cos( (0,3x + 15t) - (0,9x + 45t + pi3) ) ]
Aplicando isso, temos:
A + B = (0,3x + 15t) + (0,9x + 45t + pi3) = 1,2x + 60t + pi3
Simplificando os argumentos:
A - B = (0,3x + 15t) - (0,9x + 45t + pi3) = -0,6x - 30t - pi3
y(x, t) = 12 [ cos(1,2x + 60t + pi3) + cos(-0,6x - 30t - pi3) ]
Então:
y(x, t) = 12 [ cos(1,2x + 60t + pi3) + cos(0,6x + 30t + pi3) ]
Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de partial^2 ypartial x^2 = 12 [ -1,2^2 cos(1,2x + 60t + pi3) + -0,6^2 cos(0,6x + 30t + pi3) ] em relação a = 12 [ -1,44 cos(1,2x + 60t + pi3) - 0,36 cos(0,6x + 30t + pi3) ] e partial^2 ypartial t^2 = 12 [ -60^2 cos(1,2x + 60t + pi3) - 30^2 cos(0,6x + 30t + pi3) ] .
Primeiro, a segunda derivada em relação a = 12 [ -3600 cos(1,2x + 60t + pi3) - 900 cos(0,6x + 30t + pi3) ] :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos verificar se 12 [ -1,44 cos(1,2x + 60t + pi3) - 0,36 cos(0,6x + 30t + pi3) ] = 1v^2 cdot 12 [ -3600 cos(1,2x + 60t + pi3) - 900 cos(0,6x + 30t + pi3) ] .
Substituindo as derivadas:
-1,44 cos(1,2x + 60t + pi3) - 0,36 cos(0,6x + 30t + pi3) = 1v^2 [ -3600 cos(1,2x + 60t + pi3) - 900 cos(0,6x + 30t + pi3) ]
Cancelando -1,44 = -3600v^2 e -0,36 = -900v^2 dos dois lados:
Para que essa igualdade seja válida para todo e , os coeficientes dos termos de cosseno devem ser iguais:

Passo 6

Vamos resolver uma das equações para encontrar -1,44 = -3600v^2 implies 1,44 = 3600v^2 implies v^2 = 36001,44 implies v^2 = 2500 . Usando a primeira:
v = raiz2500 = 50 , m/s
Então:

Resposta

A função dada satisfaz a equação da onda e a sua velocidade é na direção positiva.

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