Argumente porque a seguinte função obedece a equação da onda e encontre a sua velocidade (módulo e sentido) (no S.I.):
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função satisfaz a equação da onda e, além disso, encontrar a velocidade dessa onda no Sistema Internacional (SI). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação da onda, como as funções que a obedecem se comportam, e usar algumas identidades trigonométricas pra simplificar a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. No caso de uma dimensão, ela é dada por:
onde é a velocidade da onda. Nosso objetivo é verificar se a função dada satisfaz essa equação e, se sim, encontrar o valor de .

Passo 3

Vamos começar expandindo a função . Podemos usar a identidade trigonométrica do produto de cossenos:
Aplicando isso, temos:
Simplificando os argumentos:
Então:
Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de em relação a e .
Primeiro, a segunda derivada em relação a :
Agora, a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos verificar se .
Substituindo as derivadas:
Cancelando dos dois lados:
Para que essa igualdade seja válida para todo e , os coeficientes dos termos de cosseno devem ser iguais:

Passo 6

Vamos resolver uma das equações para encontrar . Usando a primeira:
Então:

Resposta

A função dada satisfaz a equação da onda e a sua velocidade é na direção positiva.

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