Argumente porque a seguinte função obedece a equação da onda e encontre a sua velocidade (módulo e sentido) (no S.I.):
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a função
satisfaz a equação da onda e, além disso, encontrar a velocidade dessa onda no Sistema Internacional (SI). Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é a equação da onda, como as funções que a obedecem se comportam, e usar algumas identidades trigonométricas pra simplificar a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. No caso de uma dimensão, ela é dada por:
onde
é a velocidade da onda. Nosso objetivo é verificar se a função dada satisfaz essa equação e, se sim, encontrar o valor de
.
Passo 3
Vamos começar expandindo a função
. Podemos usar a identidade trigonométrica do produto de cossenos:
Aplicando isso, temos:
Simplificando os argumentos:
Então:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e
.
Primeiro, a segunda derivada em relação a
:
Agora, a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos verificar se
.
Substituindo as derivadas:
Cancelando
dos dois lados:
Para que essa igualdade seja válida para todo
e
, os coeficientes dos termos de cosseno devem ser iguais:
Passo 6
Vamos resolver uma das equações para encontrar
. Usando a primeira:
Então:
Resposta
A função dada satisfaz a equação da onda e a sua velocidade é
na direção positiva.
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, a densidade do ar
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.
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, com comprimento de 50 m e com uma massa de 100 kg presa na extremidade inferior. (a) Desconsiderando-se a massa da corda em comparação com a massa presa na extremidade, qual é a velocidade das ondas na corda? (*b) Considerando-se a massa da corda, qual é a velocidade de onda como função da altura? © Qual seria a frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes?
Thes cargas puntiformes
estāo posicionadas respectians mente em
e
. Quanto vale o campo eletrostático no ponto
Se
, calcule
, entocianal esféricas concêntricas de raios
e
, com
uniformente carregadas com cargas identicas e opastas)