Existe uma corda pendurada na vertical com densidade linear , com comprimento de 50 m e com uma massa de 100 kg presa na extremidade inferior. (a) Desconsiderando-se a massa da corda em comparação com a massa presa na extremidade, qual é a velocidade das ondas na corda? (*b) Considerando-se a massa da corda, qual é a velocidade de onda como função da altura? © Qual seria a frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes?

Passo 1

Então, a gente tem uma corda pendurada na vertical com densidade linear , comprimento de 50 metros e uma massa de 100 kg presa na parte de baixo. Precisamos calcular a velocidade das ondas nessa corda em três situações:
a) Ignorando a massa da corda comparada com a massa presa.
b) Considerando a massa da corda, achar a velocidade da onda em função da altura.
c) Descobrir a frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a: Desconsiderando a massa da corda
Quando a massa da corda é desprezada, a única massa que importa é a massa presa na extremidade, que é 100 kg. A velocidade das ondas em uma corda depende da tensão na corda e da sua densidade linear.
A fórmula para a velocidade da onda ( ) é:
Onde:
  • é a tensão na corda.
  • é a densidade linear da corda.
Como a massa da corda é desprezada, a tensão é igual ao peso da massa presa:
Onde:
Vamos calcular primeiro:
Agora, substituímos e na fórmula da velocidade:

Passo 3

Parte b: Considerando a massa da corda
Agora, precisamos levar em conta que a corda também tem massa. Isso significa que a tensão na corda não é constante ao longo do seu comprimento, pois a parte superior da corda suporta mais peso do que a parte inferior.
Vamos considerar um ponto na corda a uma altura acima da massa. A tensão nesse ponto é devido ao peso da massa presa mais o peso da corda abaixo desse ponto.
A tensão é dada por:
Onde:
  • varia de 0 a 50 metros.
A velocidade da onda como função da altura é então:
Simplificando:
Essa é a velocidade da onda em função da altura considerando a massa da corda.

Passo 4

Parte c: Frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes
Quando a massa oscila com pequenas amplitudes, podemos modelar o sistema como um oscilador harmônico simples. A frequência de oscilação depende da massa e da constante elástica do sistema.
A constante elástica pode ser relacionada à velocidade da onda e à densidade linear da corda. A relação é:
Onde:
  • é o comprimento da corda.
A frequência é dada por:
Substituindo :
Usando a velocidade das ondas da parte a ( ):
Calculando dentro da raiz:

Resposta

a) A velocidade das ondas na corda, desconsiderando a massa da corda, é aproximadamente .

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