Existe uma corda pendurada na vertical com densidade linear mu=0,15 kg / m, com comprimento de 50 m e com uma massa de 100 kg presa na extremidade inferior. (a) Desconsiderando-se a massa da corda em comparação com a massa presa na extremidade, qual é a velocidade das ondas na corda? (*b) Considerando-se a massa da corda, qual é a velocidade de onda como função da altura? © Qual seria a frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes?

Passo 1

Então, a gente tem uma corda pendurada na vertical com densidade linear mu = 0,15, kg/m, comprimento de 50 metros e uma massa de 100 kg presa na parte de baixo. Precisamos calcular a velocidade das ondas nessa corda em três situações:
a) Ignorando a massa da corda comparada com a massa presa.
b) Considerando a massa da corda, achar a velocidade da onda em função da altura.
c) Descobrir a frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte a: Desconsiderando a massa da corda
Quando a massa da corda é desprezada, a única massa que importa é a massa presa na extremidade, que é 100 kg. A velocidade das ondas em uma corda depende da tensão na corda e da sua densidade linear.
A fórmula para a velocidade da onda ( v) é:
v = raizTmu
Onde:
  • T é a tensão na corda.
  • mu é a densidade linear da corda.
Como a massa da corda é desprezada, a tensão T é igual ao peso da massa presa:
T = m cdot g
Onde:
  • m = 100, kg
  • g = 9,8, m/s^2
Vamos calcular T primeiro:
T = 100, kg times 9,8, m/s^2 = 980, N
Agora, substituímos T e mu na fórmula da velocidade:
v = raiz980, N0,15, kg/m
v = raiz6533,33, m^2/s^2
v approx 80,82, m/s

Passo 3

Parte b: Considerando a massa da corda
Agora, precisamos levar em conta que a corda também tem massa. Isso significa que a tensão na corda não é constante ao longo do seu comprimento, pois a parte superior da corda suporta mais peso do que a parte inferior.
Vamos considerar um ponto na corda a uma altura y acima da massa. A tensão T(y) nesse ponto é devido ao peso da massa presa mais o peso da corda abaixo desse ponto.
A tensão T(y) é dada por:
T(y) = m cdot g + mu cdot g cdot y
Onde:
  • y varia de 0 a 50 metros.
A velocidade da onda como função da altura y é então:
v(y) = raizT(y)mu = raizm cdot g + mu cdot g cdot ymu
Simplificando:
v(y) = raizm cdot gmu + g cdot y
Essa é a velocidade da onda em função da altura y considerando a massa da corda.

Passo 4

Parte c: Frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes
Quando a massa oscila com pequenas amplitudes, podemos modelar o sistema como um oscilador harmônico simples. A frequência de oscilação f depende da massa e da constante elástica do sistema.
A constante elástica k pode ser relacionada à velocidade da onda e à densidade linear da corda. A relação é:
k = mu cdot v^2L
Onde:
  • L = 50, m é o comprimento da corda.
A frequência f é dada por:
f = 12pi raizkm
Substituindo k:
f = 12pi raizmu cdot v^2m cdot L
Usando a velocidade das ondas da parte a ( v approx 80,82, m/s):
f = 12pi raiz0,15, kg/m times (80,82, m/s)^2100, kg times 50, m
Calculando dentro da raiz:
f = 12pi raiz0,15 times 6533,335000
f = 12pi raiz9805000
f = 12pi raiz0,196
f = 12pi times 0,443
f approx 0,4436,283
f approx 0,0705, Hz

Resposta

a) A velocidade das ondas na corda, desconsiderando a massa da corda, é aproximadamente 80,82, m/s.

Exercícios relacionados