Existe uma corda pendurada na vertical com densidade linear
, com comprimento de 50 m e com uma massa de 100 kg presa na extremidade inferior. (a) Desconsiderando-se a massa da corda em comparação com a massa presa na extremidade, qual é a velocidade das ondas na corda? (*b) Considerando-se a massa da corda, qual é a velocidade de onda como função da altura? © Qual seria a frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes?
Passo 1
Então, a gente tem uma corda pendurada na vertical com densidade linear
, comprimento de 50 metros e uma massa de 100 kg presa na parte de baixo. Precisamos calcular a velocidade das ondas nessa corda em três situações:
a) Ignorando a massa da corda comparada com a massa presa.
b) Considerando a massa da corda, achar a velocidade da onda em função da altura.
c) Descobrir a frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes.
a) Ignorando a massa da corda comparada com a massa presa.
b) Considerando a massa da corda, achar a velocidade da onda em função da altura.
c) Descobrir a frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte a: Desconsiderando a massa da corda
Quando a massa da corda é desprezada, a única massa que importa é a massa presa na extremidade, que é 100 kg. A velocidade das ondas em uma corda depende da tensão na corda e da sua densidade linear.
A fórmula para a velocidade da onda (
) é:
Onde:
-
é a tensão na corda. -
é a densidade linear da corda.
Como a massa da corda é desprezada, a tensão
é igual ao peso da massa presa:
Onde:
Vamos calcular
primeiro:
Agora, substituímos
e
na fórmula da velocidade:
Passo 3
Parte b: Considerando a massa da corda
Agora, precisamos levar em conta que a corda também tem massa. Isso significa que a tensão na corda não é constante ao longo do seu comprimento, pois a parte superior da corda suporta mais peso do que a parte inferior.
Vamos considerar um ponto na corda a uma altura
acima da massa. A tensão
nesse ponto é devido ao peso da massa presa mais o peso da corda abaixo desse ponto.
A tensão
é dada por:
Onde:
-
varia de 0 a 50 metros.
A velocidade da onda como função da altura
é então:
Simplificando:
Essa é a velocidade da onda em função da altura
considerando a massa da corda.
Passo 4
Parte c: Frequência de oscilação da massa para pequenas amplitudes
Quando a massa oscila com pequenas amplitudes, podemos modelar o sistema como um oscilador harmônico simples. A frequência de oscilação
depende da massa e da constante elástica do sistema.
A constante elástica
pode ser relacionada à velocidade da onda e à densidade linear da corda. A relação é:
Onde:
-
é o comprimento da corda.
A frequência
é dada por:
Substituindo
:
Usando a velocidade das ondas da parte a (
):
Calculando dentro da raiz:
Resposta
a) A velocidade das ondas na corda, desconsiderando a massa da corda, é aproximadamente
.
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.
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.