Se r=(x^2+y z)^2-(y^2+x 2) bary+(z^2+x y) 2, calcule nabla times r, entocianal esféricas concêntricas de raios ra e rb, com rb>r0 uniformente carregadas com cargas identicas e opastas)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o rotacional ( r = (x^2 + y z)^2 x - (y^2 + x^2) y + (z^2 + x y) z ) de um campo vetorial específico. O campo vetorial que você deu é:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, mais especificamente com operações de derivadas parciais para encontrar o rotacional de um campo vetorial. Para resolver isso, precisamos aplicar a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um campo vetorial nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) x + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) y + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) z :
P = (x^2 + y z)^2
Então, vamos identificar as componentes Q = -(y^2 + x^2) , R = (z^2 + x y) e do nosso campo :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo necessário para o rotacional:
  1. Para a componente partial Rpartial y = partialpartial y (z^2 + x y) = x :
    partial Qpartial z = partialpartial z (-y^2 - x^2) = 0
    ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) = x - 0 = x
    Então:
    partial Ppartial z = partialpartial z (x^2 + y z)^2 = 2(x^2 + y z) cdot y
  2. Para a componente partial Rpartial x = partialpartial x (z^2 + x y) = y :
    ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) = 2 y (x^2 + y z) - y = y (2(x^2 + y z) - 1)
    partial Qpartial x = partialpartial x (-y^2 - x^2) = -2x
    Então:
    partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 + y z)^2 = 2(x^2 + y z) cdot z
  3. Para a componente ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) = -2x - 2 z (x^2 + y z) :
    Então:

Passo 4

Agora, juntando todas as componentes que calculamos, temos o rotacional do campo vetorial nabla times r = [ x ] x + [ y (2(x^2 + y z) - 1) ] y + [ -2x - 2 z (x^2 + y z) ] z :
Podemos simplificar um pouco mais se desejar, mas essa é a forma geral do rotacional para o campo vetorial dado.

Resposta

O rotacional do campo vetorial nabla times r = x, x + y (2(x^2 + y z) - 1) y + (-2x - 2 z (x^2 + y z)) z é:

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