Aritmética com conjugados de números complexos Mostre que o conjugado da soma (produto ou quociente) de dois números complexos, e , é o mesmo que a soma (produto ou quociente) de seus conjugados.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o conjugado da soma, produto ou quociente de dois números complexos, e , é igual à soma, produto ou quociente dos seus conjugados. A matéria aqui é Aritmética com Números Complexos, e vamos precisar entender o que são os conjugados e como operamos com eles em diferentes operações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o número conjugado de um número complexo. Se temos um número complexo , onde é a parte real e é a parte imaginária, o conjugado de é . O conjugado basicamente inverte o sinal da parte imaginária.
Passo 3
Conjugado da Soma:
Vamos calcular o conjugado da soma de e .
Seja e .
Então, .
O conjugado da soma é:
Agora, somamos os conjugados de e :
Vemos que:
Passo 4
Conjugado do Produto:
Agora, vamos calcular o conjugado do produto de e .
O produto é:
O conjugado do produto é:
Agora, multiplicamos os conjugados de e :
Observamos que:
Passo 5
Conjugado do Quociente:
Por fim, vamos calcular o conjugado do quociente de e , assumindo que .
O quociente é:
O conjugado do quociente é:
Agora, dividimos os conjugados de e :
Portanto:
Resposta
Mostramos que, para a soma, o produto e o quociente de dois números complexos, o conjugado da operação é igual à operação dos conjugados. Ou seja: