Encontre as três raízes cúbicas de -8 i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as três raízes cúbicas de . Isso está ligado ao conteúdo de números complexos e raízes de números complexos. Para resolver, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e aplicar o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos converter para a forma polar. Um número complexo pode ser escrito como , onde é o módulo e é o argumento.
Aqui, temos e , então:
Agora, para encontrar :
Mas como e , é ou .
Portanto, em forma polar é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que nos diz que as raízes -ésimas de um número complexo são dadas por:
Aqui, porque queremos raízes cúbicas, e , .

Passo 4

Calculando cada raiz para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, calculando os valores trigonométricos:
Para :
Então,
Para :
Então,
Para :
Então,

Resposta

As três raízes cúbicas de são:

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