Encontre as três raízes cúbicas de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as três raízes cúbicas de
. Isso está ligado ao conteúdo de números complexos e raízes de números complexos. Para resolver, vamos precisar usar a forma polar dos números complexos e aplicar o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos converter
para a forma polar. Um número complexo
pode ser escrito como , onde
é o módulo e
é o argumento.
Aqui, temos
e
, então:
Agora, para encontrar
:
Mas como
e
,
é
ou
.
Portanto,
em forma polar é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que nos diz que as
raízes
-ésimas de um número complexo são dadas por:
Aqui,
porque queremos raízes cúbicas, e
,
.
Passo 4
Calculando cada raiz para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, calculando os valores trigonométricos:
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Para
:
Então,
Resposta
As três raízes cúbicas de
são:
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e
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a.
b.
c.
a.
b.
c.